第二章 圆锥曲线与方程
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4.
答案：C
2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则其标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由已知可得c＝6，所以 a＝b＝c＝3，
所以 双曲线的标准方程是－＝1.
答案：D
3．已知双曲线－＝1(b>0)的焦点到其渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意及对称性可知焦点(，0)到bx－y＝0的距离为1，即＝1，所以b＝1，所以c＝2，又a＝，所以双曲线的离心率为.
答案：C
4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又离心率为e＝＝＝ ＝，
所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：C
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A. B. C. D.
解析：方法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
方法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
答案：D
二、填空题
6．已知双曲线－＝1(0解析：因为0所以c2＝a2＋b2＝12.所以e＝＝＝.
所以n＝4.
答案：4
7．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
解析：由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±x的交点坐标为，不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－2，0)，F2(2，0)，故四边形F1PF2Q的面积是|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.
答案：2
8．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．
解析：双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又因为e∈(1，2)，则1＜＜2，解得－12＜k＜0
答案：(－12，0)
三、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点(3，－)，离心率e＝；
(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．
解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为双曲线过点(3，－)，则－＝1.①
又e＝＝＝，故a2＝4b2.②
由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．同理可得b2＝－，不符合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由2a＝2b得a＝b，
所以e＝＝，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点P(4，－)，
所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．已知双曲线E：－＝1.
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝4时，
双曲线方程化为－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝3，
所以焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，
渐近线方程为y＝±x.
(2)因为e2＝＝＝1＋，
又e∈，
所以<1＋<2，
解得5所以实数m的取值范围是(5，10)．
[B级 能力提升]
1．过双曲线－＝1(a>0)右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(，5) B．(，)
C．(1，) D．(5，5)
解析：根据题意，知2<<3，如图．
因为＝＝，
所以2<<3，
所以5因为e>1，所以所以双曲线离心率的取值范围是(，)．
答案：B
2．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．
解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝c.
因为P在双曲线上，
所以 |PF2|－|PF1|＝2a
而c－c＝2a
所以 ＝＝＝＋1.
答案：＋1
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过点A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x0＝y0.①
由题意，知圆的方程为x2＋y2＝c2.
因为点A在圆上，所以x＋y＝c2.②
将①代入②，得3y＋y＝c2，又y0>0，所以y0＝c，
所以x0＝c，
所以点A的坐标为，
把点A的坐标代入双曲线方程，得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2.③
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入③，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3－8＋4＝0，
所以3e4－8e2＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0.
因为e>1，所以e＝，
所以双曲线的离心率为.
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