第二章 圆锥曲线与方程
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．准线方程为y＝的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝y B．x2＝－y
C．y2＝－x D．y2＝x
解析：由准线方程为y＝，知抛物线焦点在y轴负半轴上，且＝，则p＝.故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
答案：B
2．已知抛物线y－2 016x2＝0，则它的焦点坐标是( )
A．(504，0) B.
C. D.
解析：抛物线的标准方程为x2＝y，故其焦点为(0，)．
答案：C
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.
答案：A
4．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆过定点( )
A．(4，0) B．(2，0)
C．(0，2) D．(0，4)
解析：由题意易知直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点．
答案：B
5．抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是焦点，|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )
A．x1，x2，x3成等差数列
B．x1，x3，x2成等差数列
C．y1，y2，y3成等差数列
D．y1，y3，y2成等差数列
解析：由抛物线的定义知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
|CF|＝x3＋.
因为|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，
所以2＝＋，即2x2＝x1＋x3.故x1，x2，x3成等差数列．故选A.
答案：A
二、填空题
6．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是________．
解析：由抛物线的定义知点A，B到准线的距离之和是5，则AB的中点到准线的距离为，故AB中点的横坐标为x＝－＝2.
答案：2
7．抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________．
解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋＝5，所以p＝8，即抛物线的标准方程是x2＝16y.
答案：x2＝16y
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2.
答案：2
三、解答题
9．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
解：(1)方法一 因为点(3，－4)在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
方法二 因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0)．
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
10．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
解：设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.
设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1.
因为圆P与圆A外切，
所以|PA|＝R＋r＝R＋1.
又因为圆P与直线l：x＝1相切，
所以|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.
因为|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等，
所以点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．
设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，可知p＝4，
所以所求的轨迹方程为y2＝－8x.
B级 能力提升
1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x2
B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2
D．y＝x2或y＝－x2
解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为3＋＝6，解得a＝，抛物线方程为y＝x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－，点M到准线的距离为＝6，解得a＝－，抛物线方程为y＝－x2.
答案：D
2．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立方程，得?－＝1?－＋1＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝－＝×b2＝p.
所以p＝p?＝?＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
kAB＝＝＝.
由
得kAB＝＝＝·，
则·＝，
所以＝?＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
3.如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
则点B的坐标为.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点B在抛物线上，
所以＝－2p·，
解得p＝，
所以抛物线方程为x2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
所以点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3.
解得a>12.21.因为a取整数，所以a的最小整数值为13.
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