第二章 圆锥曲线与方程
2.3 抛物线
2.3.2 抛物线的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
解析：令y＝0得x＝－，
所以 抛物线的焦点为F，
即＝，所以 p＝11，
所以 抛物线的方程是y2＝－22x.
答案：C
2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 B．16 C．32 D．64
解析：由题可知抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
答案：B
3．抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
解析：抛物线y2＝8x的准线是x＝－2，由条件知P到y轴距离为4，所以点P的横坐标xP＝4.根据焦半径公式可得|PF|＝4＋2＝6.
答案：B
4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值为( )
A．4 B．－4 C．p2 D．－p2
解析：法一(特例法)：当直线垂直于x轴时，A，
B，则＝＝－4.
法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立，可得y1y2＝－p2，则＝＝＝＝－4.
答案：B
5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．90° B．45° C．60° D．120°
解析：如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝
|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，
所以 ∠AFA1＝∠A1FO，
同理∠BFB1＝∠B1FO，
于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.
答案：A
二、填空题
6．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|＝4，则焦点到弦AB的距离为________．
解析：由题意我们不妨设A(x，2)，则(2)2＝4x，所以x＝3，所以直线AB的方程为x＝3，又抛物线的焦点为(1，0)，
所以焦点到弦AB的距离为2.
答案：2
7．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F为抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
又?x2－5x＋4＝0，
所以 x1＋x2＝5，|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2＝7.
答案：7
8．在抛物线y2＝16x内，过点(2，1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是________．
解析：显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k，则直线方程为y－1＝k(x－2)，①
由
消去x得ky2－16y＋16(1－2k)＝0，
所以y1＋y2＝＝2(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，
所以k＝8.代入①得y＝8x－15.
答案：y＝8x－15
三、解答题
9．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
解：由题意知焦点F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p<p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由
消去y，整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋.
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2p＋＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为y＝2或y＝－2.
10．已知M(3，y0)(y0>0)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|＝5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标．
解：(1)因为|MF|＝3＋＝5，所以p＝4，
所以抛物线方程为y2＝8x.
(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为y＝k(x－2)，
联立消去y得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
由根与系数的关系得xM·xN＝＝4，
因为xM＝3，所以xN＝.
因为N为MF的延长线与抛物线的交点，由图象可知yN<0.所以yN＝－＝－，
所以N坐标为.
[B级 能力提升]
1．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4(负值舍去)，所以选B.
答案：B
2．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝
|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于________．
解析：由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称．
设A，B，a＞0，S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4.所以 △AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
答案：90°
3．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由于p＝4，所以4x2－5px＋p2＝0即为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
课件36张PPT。第二章 圆锥曲线与方程