23.2.4 坡角、坡比问题 教案（表格式）

23.2　解直角三角形及其应用
　　　　　　　　　　　　　第4课时　坡角、坡比问题
课题
第4课时　坡角、坡比问题
授课人
教
学
目
标
知识技能
　　1.弄清铅直高度、水平长度、坡度(或坡比)、坡角等概念，并会解答相应的实际问题. 2.能应用解直角三角形的知识解答综合的实际问题．
数学思考
　　把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决．
问题解决
　　通过阅读教材、结合看图、讨论交流、例题学习，了解坡度(或坡比)、坡角及其关系，并获得解答应用题的一些经验．
情感态度
　　通过本节课的学习，一方面增强对解直角三角形的应用意识，另一方面培养耐心、细致、认真的学习态度．
教学重点
　　理解坡角和坡比的概念．
教学难点
　　利用坡角和坡比等条件，解决有关的实际问题．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
　如图23－2－109，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝6米，∠B＝∠C，底角∠B的余弦值是，上底AD的长是2 米，求它的高AE的长和四边形ABCD的面积.
　
图23－2－109
[答案] AE＝2米，四边形ABCD的面积是12 平方米
　学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】为了防汛，要修一段长为a千米的河堤，需要多少土石方，多少劳动日，多少资金，都要先计算筹备，如何计算呢？首先要知道河堤的横断面是什么形状，修好后如何检验是否符合设计标准并进行经费的计算，这些都需要测算河堤的横断面积．那么究竟如何测算呢？这就需要我们探究坡角、坡比等问题．
　鼓励学生思考，让学生初步知道坡角、坡度(或坡比)等在实际中的应用.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】有关概念(如图23－2－110)：
图23－2－110
1.铅直高度h.
2.水平长度l.
3.坡度(坡比)i：坡面的铅直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝.
4.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有i＝＝tanα.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
【探究2】探究坝高
如图23－2－111，某水坝的坡度i＝1∶，坡长AB＝20米，求水坝的高度.
图23－2－111
解：∵坡度i＝1∶，∴设AC＝x，则BC＝x，
根据勾股定理，得
AC2＋BC2＝AB2，即x2＋(x)2＝202，解得x＝10.
∴水坝的高度为10米.
【探究3】探究斜坡长
如图23－2－112所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC＝5 m，求坡面AB的长.
图23－2－112
解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，
∴tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×5＝10(m).
【探究4】探究坡角
某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，求两个坡角.
解：坝内斜坡的坡度i＝1∶，说明tanα＝，则α＝30°.
坝外斜坡的坡度i＝1∶1，说明tanβ＝1，β＝45°. 所以两个坡角分别为30°，45°.
　1.本活动的设计意在引导学生通过自主探究，合作交流，对具体问题从形象到抽象认识，训练学生从实际问题中抽象出数学知识．旨在培养学生的问题意识，提高学生的抽象思维能力.
2.四个探究主要是师生共同探究坡度(或坡比)、坡角、坝高、斜坡长的求法与简单的应用.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　如图23－2－113，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，已知sinα＝，然后又沿着坡度为i＝1∶4的斜坡向上走了1千米到达点C.问小明从点A到点C上升的高度CD是多少千米．(结果保留根号)
[答案] 小明从点A到点C上升的高度CD是(＋)千米
图23－2－113
　
图23－2－114
例2　如图23－2－114，某公园入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB长为3 m．施工队准备将斜坡建成三级台阶，台阶高度均为h cm，深度均为30 cm，设台阶的起点为C.
(1)求AC的长度：
(2)每级台阶的高度h.
(参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126，结果都精确到0.1 cm)
[答案] (1)AC的长度约为233.4 cm　(2)每级台阶的高度h约为20.8 cm
　例1、例2考查了解直角三角形的应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形．注意引导学生作辅助线的思路和方法，使学生在不同知识背景下灵活运用解直角三角形解决问题.
【拓展提升】
1.利用坡比求缆绳长
例1　[山西中考] 如图23－2－115，点A，B，C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i＝1∶2，钢缆BC的坡度i＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
[答案] 钢缆AC的长度为1000米
图23－2－115
　　　
图23－2－116
2.构造直角三角形求坡高和坡宽
例2　[宿迁] 如图23－2－116是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°，∠BAM＝30°，AB＝6 m．
(1)求FM的长；
(2)连接AF，若sin∠FAM＝，求AM的长.
[答案] (1)9 m　(2)18  m
　主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．此类问题容易出错的地方是构造不出直角三角形无法下笔，另外例2还会出现由sin∠FAM＝，得到AM＝3FM＝27的错误.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P129中的练习.
2.课本P131中的习题23.2第5题．
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
图23－2－117
1.铅直高度h.
2.水平长度l.
3.坡度(或坡比)i：坡面的铅直高度(h)和水平长度(l)的比，即i＝.
4.坡角α：坡面与水平面的夹角．i＝＝tanα.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.　　
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
用来源于学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．教师在新课引入时借助多媒体展示河堤的相关图片，边讲解边观看，最后落入到探究坡角、坡比等问题上.
②[讲授效果反思]
新课进行中主要是两个环节：一是师生共同探究简单的、单一的坡度、坡角、坡宽和坡高之间的关系；二是以近年的中考题为例展示坡度、坡角、坡长和坡高的应用．通过四道不同类型、不同角度的例题展示，使学生对这类问题有比较全面的认识.
③[师生互动反思]
___________________________________________________
___________________________________________________
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
　　　　
反思，更进一步提升.