22．1 比例线段
第1课时 相似图形
教学目标：
1．了解相似图形和相似比的概念；
2．会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；(重点)
3．掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算．(难点)
教学过程：
一、情境导入
观察以下三组图形：
每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：相似图形
如下图所示的四组图形，相似的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
解析：由相似图形的概念可知，只有(1)(3)(4)形状相同．①形状相同是指一模一样，没有一点不同之处，(2)中的图形虽然都是圆柱，但是形状不相同，所以不是相似图形；②只要形状相同，即使位置不同，也应看成是相似图形，如(4)组就是这样．故选C.
易错提醒：看图形是否相似，要紧扣定义“形状相同，大小可以不同”，但大小相同也是相似的一种情形．
探究点二：相似多边形与相似比
【类型一】 相似多边形
下列图形都相似吗？为什么？
(1)所有正方形；(2)所有矩形；(3)所有菱形；(4)所有等边三角形；(5)所有等腰梯形；(6)所有等腰三角形；(7)所有等腰直角三角形；(8)所有正五边形．
解：(1)相似，因为正方形每个角都等于90°，所以对应角相等，而每个正方形的四条边长都相等，所以对应边长度的比相等；
(2)不一定，虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边长度的比不一定相等，如图①；
(3)不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边长度的比相等，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；
(4)相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边长度的比相等，并且对应角都等于60°；
(5)不一定，如图③，对应边长度的比不相等，对应角不相等；
(6)不一定，如图④，对应边长度的比不相等，对应角不相等；
(7)相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1∶1∶，所以对应边长度的比相等；
(8)相似，因为正五边形的各角都等于108°，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边长度的比相等．
方法总结：相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边长度的比相等．
【类型二】 相似比
已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH和四边形ABCD的相似比．
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，且∠A＝∠E＝80°，∠B＝∠F＝75°，
∴AB与EF是对应边．
∵＝＝，
∴四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为.
方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法．
三、板书设计
在探索相似多边形特征的过程中，让学生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质．在解决问题过程中体会学习数学的乐趣．
第2课时 比例线段
教学目标：
1．知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点)
2．理解成比例线段的概念；(重点)
3．掌握成比例线段的判定方法．(难点)
教学过程：
一、情境导入
请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
二、合作探究
探究点一：线段的比
【类型一】 根据线段的比求长度
如图所示，已知M为线段AB上一点，AM∶MB＝3∶5，且AB＝16cm，求线段AM、BM的长度．
解：线段AM与MB的比反映了这两条线段在全线段AB中所占的份数，由AM∶MB＝3∶5可知AM＝AB，MB＝AB.
∵AB＝16cm，∴AM＝×16＝6(cm)，MB＝×16＝10(cm)．
方法总结：本题也可设AM＝3k，MB＝5k，利用3k＋5k＝16求解更简便，这也是解这类题常用的方法．
【类型二】 比例尺
在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是________m.
解析：根据“比例尺＝”可求解．设甲、乙两地的实际距离为xcm，则有1∶50 000＝3∶x，解得x＝150 000cm＝1500m.
方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化．
探究点二：成比例线段
【类型一】 判断线段成比例
下列四组线段中，是成比例线段的是( )
A．3cm，4cm，5cm，6cm
B．4cm，8cm，3cm，5cm
C．5cm，15cm，2cm，6cm
D．8cm，4cm，1cm，3cm
解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例．四个选项中，只有C项排列后有＝.故选C.
方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：
(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等作出判断；
(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断．
【类型二】 由线段成比例求线段的长
已知三条线段的长分别为1cm，cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式．
解：因为本题中没有明确告知是求1，，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论．设要求的线段长为x，若x∶1＝∶2，则x＝；若1∶x＝∶2，则x＝；若1∶＝x∶2，则x＝；若1∶＝2∶x，则x＝2.
所以所添加的数有三种可能，可以是，，或2.
方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积．
三、板书设计
从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括．在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识．并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力．
第3课时 比例的性质与黄金分割
教学目标：
1．掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质；(重点)
2．会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题；(难点)
3．了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值．(难点)
教学过程：
一、情境导入
配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．
若有含糖a千克的糖水b千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水f千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为＝.
二、合作探究
探究点一：比例的性质
【类型一】 比例的基本性质
已知＝，求的值．
解：解法一：由比例的基本性质，
得2(a＋3b)＝7×2b.
∴a＝4b，∴＝4.
解法二：由＝，得＝7，
∴＋＝＋3＝7，∴＝4.
方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法．
【类型二】 合比性质
如图，已知＝.
求证：(1)＝；(2)＝.
解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立．
证明：(1)∵＝，∴＝，即＝；
(2)∵＝，∴＝.∴＝(合比性质)．∴＝，即＝.
方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键．
【类型三】 等比性质
已知正数a、b、c，且＝＝＝k，则下列四个点中，在正比例函数y＝kx图象上的点是( )
A．(1，) B．(1，2)
C．(1，－) D．(1，－1)
解析：求出k的值是关键．∵a、b、c为正数，∴a＋b＋c≠0.由等比性质，得＝k，即k＝，∴y＝x.当x＝1时，y＝×1＝，∴点(1，)在正比例函数y＝kx的图象上．故选A.
方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在解题时需注意这一点．
探究点二：黄金分割
【类型一】 利用黄金分割进行计算
如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，BC＝mAB，求m的值．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴＝＝.又∵BC＝mAB，∴AC＝(1－m)AB，∴＝，即1－m＝，∴m＝.
方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC，BC，AB之间的表达式，再利用BC＝mAB变形，求出m的值．
【类型二】 黄金分割的实际应用
如图所示，乐器上有一根弦AB，两个端点A、B固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，若DC的长度为d，试求这根弦AB的长度．
解：根据黄金分割的定义，可知＝＝，∴AC＝BD＝AB，∴AD＝AB－BD＝AB－AB.
∴CD＝AC－AD＝AB－(AB－AB)＝(－2)AB＝d.
∴AB＝d＝(＋2)d.
三、板书设计
经历探究比例的性质和黄金分割的过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣．
第4课时 平行线分线段成比例及其推论 教学目标：
1．了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；(重点)
2．会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题．(难点)
教学过程：
一、情境导入
梯子是我们生活中常见的工具．
如图是一个梯子的简图，经测量，AB＝BC，AD∥BE∥CF…，那么DE和EF相等吗？
二、合作探究
探究点一：平行线分线段成比例的基本事实
如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若AB＝3，DE＝，EF＝4，求BC的长．
解：∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝3，DE＝，EF＝4，
∴根据平行线分线段成比例可得＝，
即BC＝·AB＝×3＝.
方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长．
探究点二：平行线分线段成比例基本事实的推论
如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于( )
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：由DE∥BC可得＝，即＝，∴AC＝8.故选D.
易错提醒：在由平行线推出成比例的线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上．
探究点三：运用平行线分线段成比例基本事实作图
如图，已知线段AB，求作线段AB的四等分点．
解析：这里的四等分点的作法，不是用刻度尺去量取，而是采用尺规作图的方法，所以可考虑平行线等分线段定理去作图．
解：作法：(1)作射线AC；(2)在射线AC上顺次截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝任意长；(3)连接A4B；(4)过点A1、A2、A3分别作A4B的平行线，交AB于点B1、B2、B3，点B1、B2、B3即为所求的四等分点．
三、板书设计
通过教学，培养学生的观察、分析和概括能力，了解特殊与一般的辩证关系．再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，锻炼识图能力和推理论证能力．在探索过程中，体验探索结论的方法和过程，发展学生的推理能力和有条理的说理表达能力．
