22．2 相似三角形的判定
第1课时 平行线与相似三角形
教学目标
1．理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；(重点)
2．会用“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似”进行计算和简单地证明．(难点)
教学过程
一、情境导入
如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
二、合作探究
探究点一：相似三角形
【类型一】 利用定义判定相似三角形
△ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．
解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.
因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.
所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.
又因为＝，＝，＝＝，
所以＝＝.所以△ABC∽△DFE.
方法总结：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．
【类型二】 相似三角形的性质
如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝58cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
(1)∠AED和∠ADE的度数；
(2)DE的长．
解：(1)∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠ACB＝40°.
在△ADE中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°；
(2)∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝.∴DE＝＝36.25(cm)．
方法总结：当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．
探究点二：平行线与相似三角形
如图，已知在?ABCD中，E为AB延长线上一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F.请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，
∴△BEF∽△CDF∽△AED.
故当△BEF∽△CDF时，相似比为BE∶CD＝BE∶AB＝1∶3；
当△BEF∽△AED时，相似比为BE∶AE＝1∶4；
当△CDF∽△AED时，相似比为CD∶AE＝3∶4.
已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.
解：∵AM∥BN，∴△NBC∽△MAC，∴＝，即＝，∴NC＝m.
三、板书设计
感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力．
第2课时 相似三角形的判定定理1
教学目标：
1．能正确地理解相似三角形的判定定理1；(重点)
2．能熟练地运用相似三角形的判定定理1.(难点)
教学过程：
一、情境导入
根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢？
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理1
在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由．
解：△ABC∽△A′B′C′.
理由：由三角形的内角和是180°，
得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，
所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.
故△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似)．
方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角(或等角)的余角”等隐含条件．
探究点二：相似三角形的判定定理1的应用
【类型一】 由三角形相似计算对应边的长
如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．
解：解法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC，
所以＝，即＝，
所以BC＝15cm.
又因为DF∥AC，
所以四边形DFCE是平行四边形，
即FC＝DE＝5cm，
所以BF＝BC－FC＝15－5＝10(cm)．
解法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B.
又因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF，
所以△ADE∽△DBF，
所以＝，即＝，
所以BF＝10cm.
方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到．
【类型二】 由相似三角形确定对应边的比例关系
已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：＝.
证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°.
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，∴＝.
方法总结：要证明＝，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论．
三、板书设计
在探索活动中，要增强学生发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯．进一步培养学生合情推理能力和初步逻辑推理意识．
第3课时 相似三角形的判定定理2
教学目标：
1．掌握相似三角形的判定定理2；(重点)
2．能熟练地运用相似三角形的判定定理2.(难点)
教学过程：
一、情境导入
画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小(或∠C与∠C′的大小)，判断△ABC与△A′B′C′相似吗？
二、合作探究
探究点一：相似三角形的判定定理2
如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是( )
A．AB·CD＝BD·BC
B．AC·CB＝CA·CD
C．BC2＝AC·DC
D．BD2＝CD·DA
解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似．本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即＝或BC2＝AC·DC.故选C.
方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断．
探究点二：相似三角形的判定定理2的应用
如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳(两条尺长AC和BD相等)去量，若OA∶OC＝OB∶OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.
解：因为OA∶OC＝OB∶OD，∠AOB＝∠COD，所以△AOB∽△COD，故＝＝n，可得AB＝bn，所以x＝.
方法总结：欲求厚度x，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于x的比例式，解之即可．
如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，求点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？
解：设经过ts后，△PBQ与△ABC相似．
(1)当＝时，
△PBQ∽△ABC.
此时＝，解得t＝4.
即经过4s后△PBQ与△ABC相似；
(2)当＝时，△PBQ∽△CBA.
此时＝，解得t＝1.6.
即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似．
综上所述可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s后△PBQ与△ABC相似．
易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ∽△ABC的情况，还要考虑△PBQ∽△CBA的情况．要证明△PBQ与△ABC相似，很显然∠B为公共角，因此可运用两边对应成比例，且夹角相等列方程求解，同时要注意分类讨论．
三、板书设计
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力．感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定方法(SAS)的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
第4课时 相似三角形的判定定理3
教学目标：
1．掌握相似三角形的判定定理3；(重点)
2．能熟练地运用相似三角形的判定定理3.(难点)
教学过程
一、情境导入
如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
可否用类似于判定三角形全等的方法(SSS)，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
二、合作探究
探究点：三边对应成比例的两个三角形相似
【类型一】 利用三边长来判定三角形相似
如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由．
解：∠B＝∠AED.
理由：由题意得
AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，
AC＝AE＋CE＝6＋3＝9，
＝＝3，＝＝3，＝＝3，
所以＝＝，故△ABC∽△AED，
所以∠B＝∠AED.
方法总结：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边对应成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.
【类型二】 网格中相似三角形的判定
如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形？
解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝.
同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2；
同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，；
同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3；
同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，.
∵＝＝＝，
∴图②中的三角形与△ABC相似．
方法总结：(1)各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；(2)判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．
三、板书设计
相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似
从学生已掌握的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力．感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定方法(SSS)的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识．
第5课时 判定两个直角三角形相似
教学目标
1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用；(重点)
2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解；
3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力；(难点)
4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
教学过程
一、情境导入
1．到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？
答：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似．
2．判定两个直角三角形相似有几种方法？
答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例．
还有没有其他的方法证明直角三角形相似？
二、合作探究
探究点一：判定两个直角三角形相似
【类型一】 判定两个直角三角形相似的特殊方法
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.求证：△ABC∽△B′C′A′.
解析：先求两直角三角形的斜边AC和A′B′的比，再求两直角边BC和A′C′的比．
证明：在Rt△ABC中，BC＝＝＝3，∴＝＝.∵＝＝，∴＝.又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.
【类型二】 网格图中的直角三角形相似
如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是
( )
解析：根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC各边的长度，求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．设网格的边长是1，则AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，∴AB∶AC∶BC＝∶2∶＝1∶2∶，∴△ABC是直角三角形．∵选项A、D中的三角形不是直角三角形，∴排除A、D选项；∵AB∶BC＝1∶2，B选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2，C选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2，∴选项B正确．
方法总结：以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键．
探究点二：直角三角形相似的计算
如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，△CPQ与△CBA相似？
解析：分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
解：当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，解得t＝4.8；当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，解得t＝.综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
方法总结：本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．
三、板书设计
1．如何判定两个直角三角形相似呢？
一个锐角对应相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似．
2．直角三角形相似的判定定理的简单应用．
由于直角三角形是特殊的三角形，因而它具备一般三角形所没有的特殊性质．通过本节课的学习，要求理解已经学过的判定相似三角形的三种方法均可以用来判定两个直角三角形相似，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形相似”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形相似．在研究的过程中，注意渗透由一般到特殊的数学思想方法．为了实现教学目标，本节课改变了教材的情境设置，择取了一个更便于学生理解、更能激发学生兴趣的实例，使学生能在生活中找到数学原型，在思考中找到解决问题的办法．教学中鼓励学生大胆猜想，大胆辩驳，教师始终是一位引导者、组织者，学生的积极性得到充分发挥，取得了很好的教育效果．
