22．3 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质定理1、2及应用
教学目标
1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；(重点)
2．理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比；(重点)
3．运用相似三角形的性质1、2解决实际问题．(难点)
教学过程：
一、情境导入
在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例．那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质．
二、合作探究
探究点一：相似三角形性质定理1
【类型一】 相似三角形对应高的比
如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC，DE∥BC，
∴AH⊥DE.
∴＝，即＝.
∴AH＝18.
∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.
方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比；将所求线段转化为求对应高的差．
【类型二】 相似三角形对应角平分线的比
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：(方法一)设其中较短的角平分线的长为xcm，则另一条角平分线的长为(42－x)cm.
根据题意，得＝.解得x＝18.
所以42－x＝42－18＝24(cm)．
(方法二)设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有＝.解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比．列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形．
【类型三】 相似三角形对应中线的比
已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，
∴＝＝，
又∵CD＝4cm，
∴C′D′＝＝×4＝6(cm)．
即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.
方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比．
探究点二：相似三角形性质定理1的应用
如图所示，路边有两根电线杆，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两电线杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M距地面的高．
解析：如图所示，过点M作MH⊥BD于点H.由题意得AB∥MH∥CD，故△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD，故＝＝，＝，故MH可求．
解：过点M作MH⊥BD于点H，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥MH∥CD，∴△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD.∴＝＝＝，∴＝.又∵＝，∴＝，∴MH＝CD＝×6＝2(m)，即点M距地面的高为2m.
探究点三：相似三角形的周长比
已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若＝，且△A′B′C′的周长为20cm，求△ABC的周长．
解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k＝＝，＝.
已知△A′B′C′的周长为20cm，所以△ABC的周长为10cm.
易错提醒：在相似表达式△ABC∽△A′B′C′及对应中线比＝中，都是△ABC在前，△A′B′C′在后，而在解题时，△A′B′C′在前，△ABC在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式中求解．
三、板书设计
1．相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
2．相似三角形的周长之比等于相似比．
通过探索相似三角形中对应线段和周长的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．
第2课时 相似三角形的性质定理3及应用
教学目标
1．理解并初步掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；(重点)
2．相似三角形的面积比在实际中的应用．(难点)
教学过程
一、情境导入
如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10平方米，CE长为4m，AE长为6m.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积．
二、合作探究
探究点一：相似三角形的面积比
如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，∴CF是△ACD的中线，F是AD的中点．∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，且＝.∴△AEF∽△ABD.∴＝()2＝.∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴＝，∴S△ABD＝8，即△ABD的面积为8.
易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比．在本题中不要犯由EF∶BD＝1∶2得S△AEF∶S△ABD＝1∶2，或S△AEF∶S四边形BDFE＝1∶2的错误．
探究点二：相似三角形性质定理的应用
某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底长分别为10m，20m的梯形空地上种植花木．
(1)他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△CMB地带所需的费用；
(2)若其余地带有玫瑰和茉莉两种花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，则应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金？
解：(1)∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD∽△CMB.∴＝()2＝＝.∵种植△AMD地带花了160元，∴S△AMD＝160÷8＝20(m2)．∴S△CMB＝20×4＝80(m2)．∴种满△CMB地带所需的费用为80×8＝640(元)；
(2)设△AMD的高为h1，△CMB的高为h2，梯形的高为h.∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4(m)．∵＝，∴h2＝8(m)．∴h＝h1＋h2＝4＋8＝12(m)．∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)·h＝×30×12＝180(m2)．∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80(m2)．若种植玫瑰，共需花费160＋640＋80×12＝1760(元)；若种植茉莉，共需花费160＋640＋80×10＝1600(元)．∴选择种植茉莉可以刚好用完所筹集的资金．
方法总结：(1)要求种满△CMB地带的费用，只要求出△AMD与△CMB的面积之比，然后根据相似三角形来求解即可；(2)关键是要求出梯形ABCD的面积，由(1)可求出△AMD的面积，则可求△AMD的边AD上的高，由△AMD∽△CMB可求出△CMB的边BC上的高，而梯形ABCD的高即为△AMD与△CMB的高之和，故梯形的面积可求．
三、板书设计
相似三角形的面积之比：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力．学生通过交流、归纳，总结相似三角形的面积比与相似比的关系，体验化归思想，体会知识迁移、温故知新的好处．运用相似多边形的面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识．
