23．1 锐角的三角函数
1．锐角的三角函数
课题
1.锐角的三角函数
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.理解锐角三角函数(sinA、cosA、tanA)的意义及其它们的取值范围.
2.理解坡度、坡角的意义．
数学思考
当锐角一定时，它所在的直角三角形的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值相对确定．
问题解决
通过具体实例，引导学生探索、发现三角函数的概念．
情感态度
培养良好的数形结合能力，体验三角函数的应用价值．
教学重点
三角函数的概念、符号、表示方法及取值范围．
教学难点
三角函数概念的形成过程．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.直角三角形的两锐角________.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.
3.如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有________.
4.有一锐角相等的两个直角三角形________.
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
已知：如图23－1－5，
(1)由Rt△AB1C1________Rt△AB2C2________Rt△AB3C3，
得＝＝＝k.
可见，在Rt△ABC中，当锐角A确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是一个固定值.
图23－1－5
(2)同样，∠A的对边与斜边、邻边与斜边的比值也是固定值：
＝________＝，＝________＝.
鼓励学生独立解决问题，让学生感受当直角三角形的锐角确定后，其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值都相对确定
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】为了探索新的测量方法，在直角三角形中定义锐角三角函数，它将为测量开辟新的领域．如图23－1－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝.
图23－1－6
(1)弄清“对边”“邻边”“斜边”的含义，在Rt△ABC中，∠C＝90°，对∠A来说，________是对边、________是邻边；而对∠B来说，________是邻边、________是对边，无论怎样，“边”一定要分清.
(2)为了记忆方便，可以用口诀进行记忆，即“正弦等于对比斜，余弦等于____________，正切等于____________”.
(3)从定义可以看出，锐角三角函数的三个比值是随着角度的变化而变化的，当角度固定不变时，无论边怎样变化，它的三个三角函数值是________的.
(4)三角函数的符号是一个整体数学符号，如sinA不能看成是sin和A相乘的关系，而是“∠A的正弦”，它的整体表示________的比.
(5)会求锐角三角函数的值，在直角三角形中，知道两边，利用勾股定理求第三边，再用三角函数的定义求出锐角的三角函数值.
【探究2】如图23－1－7所示：
(1)坡度：坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，
即i＝(坡度通常写成h∶l的形式)；
图23－1－7
(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有i＝＝tanα.
【归纳总结】
坡度(i＝tanα)越大，坡角α越大，坡面就越陡.
1.探究1的设计意在引导学生明白角的对边、邻边、斜边，理解三角函数的概念.
2.探究2主要是让学生理解坡角和坡度的概念，会根据定义求坡度和坡角.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 (1)[兰州中考] 如图23－1－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cosA的值等于(D)
A. B. C. D.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosA＝，求tanB的值.
解：由cosA＝，可得＝，故设b＝4k，c＝5k，
根据勾股定理，得a＝＝3k.
应用三角函数的定义，得tanB＝＝＝.
图23－1－8
变式 [汕尾中考] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是(B)
A. B. C. D.
例2 一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为(A)
A.1∶3 B．1∶ C.1∶ D．1∶
审题是解题的关键，通过运用三角函数的定义求三角函数值，学会解决简单的问题．宜采取启发式教学发挥学生的潜能.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3 如图23－1－9，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上.
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值.
图23－1－9
解： (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°.
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠AFB＋∠DFE＝180°－∠BFE＝90°.
又∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，
∴△ABF∽△DFE.
(2)在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，
故设DE＝a，则EF＝3a，DF＝＝2 a. ∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE＝EF＝3a，CD＝DE＋CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF.
由(1)知△ABF∽△DFE，
∴＝＝＝，
∴tan∠EBC＝tan∠EBF＝＝.
教师引导学生分析、找出思路后，让学生自己解答.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P114中的练习.
2.课本P116中的练习．
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
图23－1－10
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本课通过相似三角形的对应边之比相等，发现只要锐角确定，这个角的对边与斜边的比、对边与邻边的比和邻边与斜边的比就相对确定，从而引出锐角三角函数的定义.
②[讲授效果反思]
本课通过三个例题的探究与展示，主要引导学生根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值，通过例题的学习，学生应该能很好地掌握.
③[师生互动反思]
____________________________________________________
____________________________________________________
④[习题反思]
好题题号__________________________________
错题题号__________________________________
反思，更进一步提升.
23．1 锐角的三角函数
2.30°，45°，60°角的三角函数值
课题
2.30°，45°，60°角的三角函数值
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.记住特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值；2.能由特殊角求三角函数值和由三角函数值求角度. 3.了解互余两角的三角函数间的关系．
数学思考
在探究特殊角的三角函数值的基础上既要会由角度求三角函数值，又要会由三角函数值求角度，同时注意思考角的度数的变化引出的三角函数值的变化．
问题解决
通过观察、测量直角三角形的30°，45°，60°角的各边的长度，探究出特殊角的三角函数值，并能进行简单的应用．
情感态度
培养学生数形结合的能力和探究问题的能力，体验三角函数的应用价值．
教学重点
特殊角的三角函数值.
教学难点
准确计算由特殊角的三角函数组成的式子的值．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.已知：如图23－1－62，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sinA＝____，cosA＝____，tanA＝____．
图23－1－62图23－1－63
2.如图23－1－63，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝2，那么c＝__4__，b＝__2___.
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1．设你手上的30°角的三角板的最短边长是1，则最长边长是__2__，第三边长是，那么sin30°＝____，cos30°＝____，tan30°＝____；sin60°＝____，cos60°＝____，tan60°＝____．
2．设你手上的45°角的三角板的直角边长是1，则斜边长是____，那么sin45°＝____，cos45°＝____，tan45°＝__1__.
鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受30°，45°，60°角的三角函数值，同时让学生根据三角板活记这些特殊角的三角函数值.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】如图23－1－64，观察一副三角板：
图23－1－64
它们共有几个锐角？分别是多少度？
(1)sin30°等于多少？
(2)cos30°等于多少？
(3)tan30°等于多少？
与同伴交流你是怎么想的，又是怎么做的．
α
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
(5)sin45°，sin60°等于多少？
(6)cos45°，cos60°等于多少？
(7)tan45°，tan60°等于多少？
【活动总结】
1.本探究的设计意图在于引导学生通过自主探究，合作交流，对具体问题从形象到抽象认识，训练学生从实际问题中抽象出数学知识．旨在培养学生的问题意识，提高学生的抽象思维能力．同时不妨设两个三角板的最短边长为单位1，推导出特殊角的三角函数值. 2.对于特殊角的三角函数表，最好让学生自己填写，并记住.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究2】已知锐角α，那么下列结论正确的个数是( A )
(1)sinα的值比0大，但比1小；(2)tanα的值是正值；(3)0＜cosα＜1；(4)sin2α＋cos2α＝1.
A．4 B．3 C．2 D．1
图23－1－65
[解析] 把锐角α放在Rt△ABC中，如图23－1－65，
(1)∵sinα＝＝＞0，BC＜AB，∴sinα＜1；
(2)∵tanα＝＝，
∴tanα＞0；
(3)∵cosα＝＞0，AC＜AB，∴0＜cosα＜1；
(4)∵sinα＝，cosα＝，BC2＋AC2＝AB2.
∴sin2α＋cos2α＝＋＝＝1.
∴(1)(2)(3)(4)均正确，故选A.
【活动总结】
1．互余两角的三角函数间的关系：
sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．
2．同角的三角函数间的关系：
sin2α＋cos2α＝1；tanα＝.
教师深入到学生中对需要帮助的学生进行指导.
3.同角的三角函数间的关系可针对学生的情况，酌情添加.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
1．利用特殊角的三角函数值计算
例1 计算：(1)2sin30°＋3cos60°＋tan45°＝____；
(2)sin30°＋cos30°＝____；
(3)＋＝____．
2．已知特殊角的三角函数值求锐角
例2 (1)已知sinA＝，则∠A＝__30°__；
(2)已知tanA＝1，则∠A＝__45°__；
(3)已知cosB＝，则∠B＝__60°__；
(4)＝sin__60°__＝cos__30°__；
1.熟记特殊角的三角函数值是解答此类题的关键，学会准确地计算此类问题，教学中要特别强调准确．
(5)已知β为锐角且sin(β－15°)＝，则β＝__75°__；
(6)已知＋＝0，∠A，∠B为△ABC的内角且为锐角，则∠C＝__105°__；
(7)已知α为锐角，且tan2α－(1＋)tanα＋＝0，则α＝__45°或60°__．
3．利用同角三角函数的关系求三角函数值
例3 已知sinA＝，∠A是锐角，求：(1)cosA；(2)tanA.
解：(1)因为sin2A＋cos2A＝1，所以cos2A＝1－sin2A.
所以cosA＝＝＝.
(2)因为tanA＝，所以tanA＝＝.
2.可以安排学生做些前边的变式题，例3酌情讲解.
【拓展提升】
例4 计算：＋.
[答案] 4
例5 [湛江中考] 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__1__；①
sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝__1__；②
sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝__1__；③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．④
(1)如图23－1－66，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
(2)已知∠A为锐角(cosA＞0)且sinA＝，求cosA.
图23－1－66 图23－1－67
[解析] 先具体计算，从计算中归纳出规律，再进行证明，最后再加以运用．
解：(1)如图23－1－67，过点B作BH⊥AC于点H，
例4通过复杂三角函数值的计算，培养学生认真细致的计算能力．
例5主要是借助特殊角的三角函数值培养学生的阅读能力和归纳探究能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
则BH2＋AH2＝AB2，sinA＝，cosA＝，∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝1.
(2)∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝，
∴cos2A＝1－＝.
∵cosA>0，∴cosA＝
.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P118中的练习．
2.课本P119中的练习．
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
特殊角的三角函数值表
三角函数
锐角α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
互余两角的三角函数间的关系：sinα＝cos(90°－α)，cosα＝
sin(90°－α)．
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课先根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出直角三角形的三边长，再根据锐角三角函数的定义，求出30°，60°角的三角函数值，类比的方法，求出45°角的三角函数值.
②[讲授效果反思]
授课主要是应用特殊角的三角函数值进行计算，建议把前边教材母题的变式变形和命题角度中的中考题，适时地安排给学生练习，这样更有利于培养学生的计算能力，也突出了学生为主体、训练为主线.
③[师生互动反思]
___________________________________________________
___________________________________________________
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
.
反思，更进一步提升
23．1 锐角的三角函数
3.一般锐角的三角函数值
课题
3.一般锐角的三角函数值
授课人
教
学
目
标
知识技能
利用计算器求任意一个锐角的三角函数值；同时已知一个锐角的三角函数值可求出这个锐角的度数．
数学思考
通过计算器计算锐角三角函数值或由锐角三角函数值求角度，体会计算器的强大作用，并借助计算器探索锐角三角函数值的变化规律．
问题解决
经历用计算器求锐角三角函数值或由锐角三角函数值求角度的过程，进一步体会三角函数的意义及其增减性．
情感态度
积极阅读、认真操作、合作交流，培养自学能力、动手能力和合作精神．
教学重点
利用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求角度.
教学难点
用计算器求锐角三角函数值时注意按键顺序．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.求30°，45°，60°角的三角函数值.
2.计算：sin60°＋cos45°＋sin30°·cos30°.
3.在△ABC中，∠A，∠B为锐角，(2sinA－)2＋＝0，求△ABC的三个内角.
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1.我们已经知道特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值，那么任意锐角的三角函数值怎样求呢？我们能否用计算器来解决这些任意锐角的三角函数值呢？
2.我们已经知道sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝，由此可以猜想，锐角的正弦值随角度的增大而增大．同理可得出锐角的正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小．
1.教师口述引入1，说明任意锐角的三角函数值可以通过计算器求得.
2.教师引导学生完成引入2，理解锐角的正弦、余弦和正切的值随角度的变化情况.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】整数度数的锐角三角函数值的计算器求法在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有、和，当我们计算整数度数的锐角三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按键，则屏幕上就会显示出结果.
1.本活动的设计意图在于引导学生通过自己动手操作、自主探究、合作交流，学习锐角三角函数值的计算器求法.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
求sin16°的值.
解：先按键，再依次按键，则屏幕上显示的结果为0.275637355.
【探究2】非整数度数的锐角三角函数值的计算器求法
若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用科学计算器求三角函数值时，同样先按、、三个键之一，然后再依次按度、、分、、秒、键，然后按键，则屏幕上会显示出结果.
求sin72°38′25″的值.
解：先按键，再依次按键：，则屏幕上显示出结果0.954450312.
说明：用计算器求三角函数值时，结果一般有8个或10个数位，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.
【探究3】由锐角三角函数值求锐角
已知锐角三角函数值求角度，要用到键的第二功能sin－1、cos－1、tan－1和键．具体操作步骤：先按键，再按、、键之一，然后按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果.
已知sinA＝0.9816，求锐角∠A.
解：先按键，再按键，最后按键，则屏幕上显示出结果78.99184039.
说明：(1)上面的结果是以“度”为单位的，再按键，即可显示出以“度、分、秒”为单位的结果．(2)求角度的计算结果，如没有特别说明，一般精确到“1″”．
2.注意结果要按题目要求取舍.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
求已知锐角的三角函数值.
例1 求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)
解：按下列顺序依次按键：
，
显示结果为0.897859012.
∴sin63°52′41″≈0.8979.
例2 求tan19°15′的值．(精确到0.0001)
解：按下列顺序依次按键：
，
显示结果为0.349215633.
∴tan19°15′≈0.3492.
不同的计算器的按键方法各有不同，让学生灵活掌握用计算器求三角函数值，并根据题目要求取舍.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
由锐角三角函数值求锐角
例 已知tanx＝0.7410，求锐角x.(精确到1′)
解：按下列顺序依次按键：，
显示结果为36.53844577.
再按键，显示结果为36°32′18.4″.
∴x≈36°32′.
引导学生理解由已知锐角求三角函数值与由锐角三角函数值求锐角是一个“互逆”的过程，它们的按键顺序不同.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
课本P122中的练习.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
一、整数度数的锐角三角函数值的计算器求法
二、非整数度数的锐角三角函数值的计算器求法
三、利用计算器由锐角三角函数值求锐角
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
前一节课已经学习了特殊角的三角函数值，自然想到对于任意锐角的三角函数值怎样获得，这是学生思考的问题，所以本节借助计算器求锐角三角函数值是摆在学生面前的一个问题．也可以类比任意正数的平方根的计算器求法，想到任意锐角三角函数值的求法．
②[讲授效果反思]
通过阅读课本和例题学习锐角三角函数值的计算器求法，是本节课学生获得方法的重点，所以本节课应该特别强调学生的动手能力与合作交流意识，放手让学生自己学习、操作、反思、讨论，是本节课学习的主要方法．
③[师生互动反思]
____________________________________________________
____________________________________________________
④[习题反思]
好题题号__________________________________
错题题号__________________________________
反思，更进一步提升.
