23．1 锐角的三角函数
1．锐角的三角函数
第1课时 正 切
教学目标：
1．理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；(重点)
2．能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)
3．了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题．(重点)
教学过程
一、情境导入
如图，这种方法可以用来测量物体的高度．
由图我们想到在直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本章的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关问题．
二、合作探究
探究点一：正切的定义
【类型一】 根据已知条件求锐角的正切值
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝7(AC>BC)，AB＝5，求tanB的值．
解析：要求tanB的值，根据锐角三角函数的定义，则需要求出对边AC和邻边BC的长．已知斜边AB＝5，且AC＋BC＝7，所以可以根据勾股定理进行计算．
解：设AC＝x，则BC＝7－x.
根据勾股定理，得x2＋(7－x)2＝52，解得x＝3或4.
∵AC>BC，∴AC＝4，BC＝3.∴tanB＝＝.
方法总结：本题的解题思路是根据已知条件确定∠B的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用．实际上，根据以往做题的经验，不通过计算，直接观察就可以解决．因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3.
【类型二】 已知锐角的正切值求解其他问题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，△ABC的周长为24.求△ABC的面积．
解析：因为△ABC为直角三角形，所以要求它的面积可求两直角边AC和BC的长．又tanA＝＝，AC＋BC＋AB＝24，且AB2＝AC2＋BC2，故可求AC和BC的长，从而可求面积．
解：∵∠C＝90°，tanA＝0.75，∴tanA＝＝.
设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝＝＝5k.
∵AC＋BC＋AB＝24，∴4k＋3k＋5k＝24，∴k＝2.
∴AC＝8，BC＝6.∴S△ABC＝AC·BC＝×8×6＝24.
方法总结：题目中已知锐角的正切值，通常利用正切的概念将其转化为边的比值，再根据周长求出各边的长度．这里采用了设参数(k)的方法．
探究点二：坡度、坡角
如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( )
A．2米 B．2米
C．4米 D．6米
解析：先由i＝＝，BC＝2米，求出AC，再利用勾股定理求出AB的长．∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，∴i＝＝.∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．∴AB＝＝＝2(米)．故选B.
方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
三、板书设计
正切
注重学生对锐角的正切概念的理解，引导学生积极主动地参与正切概念的探索过程．加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力，并注意联系实际，提高运用数学知识解决实际问题的能力．
第2课时 正弦和余弦
教学目标：
1．理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；(重点、难点)
2．在直角三角形中求正弦值、余弦值．(重点)
教学过程
一、情境导入
牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．
你能求出它的高度(AB)吗？
二、合作探究
探究点一：正弦的定义
【类型一】 求正弦值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值．
解析：先根据勾股定理求出b的长，再根据锐角三角函数的定义求解．
解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，
∴b＝＝＝4，
∴sinA＝＝，tanA＝＝.
方法总结：解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值．
【类型二】 已知锐角三角形的一个三角函数值，求其他三角函数的值
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为( )
A. B. C. D.
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝，tanB＝，a2＋b2＝c2；由sinA＝知，若设a＝3x，则c＝5x.结合a2＋b2＝c2，得b＝4x.所以tanB＝＝＝.故选A.
方法总结：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值．
探究点二：余弦的定义
【类型一】 求余弦值
如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB＝________.
解析：如图所示，连接AB，设每个小正方形网格边长为1，则OA＝＝2，OB＝AB＝＝，所以AB2＋OB2＝20，OA2＝20，AB2＋OB2＝OA2，故∠ABO＝90°，cos∠AOB＝＝＝.
方法总结：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题．
【类型二】 构造直角三角形求余弦值
如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，则cosα等于( )
A. B.
C. D.
解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，如图．在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，∴OP＝＝，∴cosα＝＝.故选C.
方法总结：也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，若点P不在第一象限，则要注意字母的符号．
三、板书设计
正弦和余弦
注重学生对锐角正弦、余弦概念的理解．加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用．培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力．通过数学建模把一些实际问题抽象为数学模型，从而提高分析问题、解决问题的能力．
2．30°，45°，60°角的三角函数值
第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标：
1．运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、45°、60°角的三角函数值；(重点)
2．熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用．(难点)
教学过程：
一、情境导入
我们天天与三角板打交道，知道三角板有两大类型．如图，有30°角的三角板和45°角的三角板，但你是否留意，每副三角板中两直角边的比值是多少？
二、合作探究
探究点一：30°、45°、60°角的三角函数值
计算：
(1)sin60°×cos45°；
(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°.
解析：把30°，45°，60°角的三角函数值代入上式进行计算，注意tan230°表示tan30°·tan30°.
解：(1)sin60°×cos45°＝×××＝；
(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°＝()2＋()2－()2×1＝＋－＝.
方法总结：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算．
探究点二：由特殊三角函数值确定锐角的度数
在Rt△ABC中，若sinA＝，则cos＝________．
解析：由sinA＝，得∠A＝60°，所以cos＝cos30°＝.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin(90°－∠A)＝，则∠A＝________．
解析：因为sin45°＝，所以90°－∠A＝45°，所以∠A＝45°.
方法总结：熟练掌握特殊角的三角函数值，并能够由特殊的三角函数值来确定特殊角的度数．
三、板书设计
函数值 函数
角
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，让学生感受数学思考过程的合理性，逐步培养学生观察、分析、概括的思维能力．
第2课时 互余两角的三角函数值
教学目标
1．理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；(重点)
2．会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算．(难点)
教学过程
一、情境导入
1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝36°，则∠B＝________；若∠B＝53°28′，则∠A＝________．
2．sin30°＝cos60°＝________，sin60°＝cos30°＝________，sin45°＝cos45°＝________．
完成上面两题我们不难发现，30°、45°、60°这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值．这个规律，是否适合任意一个锐角呢？
二、合作探究
探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系
【类型一】 互余两角的正弦、余弦值的关系
在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则cosA的值为( )
A. B. C．1 D.
解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．故选A.
已知cosα＝，α＋β＝90°，则cosβ＝( )
A. B. C. D.
解析：∵cosα＝，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝.设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝＝，设b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ＝＝＝.故选C.
方法总结：利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边．
【类型二】 互余两个锐角的正切值的关系
在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________．
解析：∵tanA，tanB为方程3x2－tx＋3＝0的两根，∠A，∠B是锐角．∴tanA·tanB＝＝1，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
方法总结：利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小．
三、板书设计
互为余角的正弦与余弦函数值之间的关系是锐角三角函数的重要关系之一．掌握这一关系，对学生全面系统了解锐角三角函数以及后继的学习与应用都是十分重要的．
3．一般锐角的三角函数值
教学目标：
1．会使用科学计算器求锐角的三角函数值；(重点)
2．会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小；(重点)
3．熟练掌握计算器的按键顺序．(难点)
教学过程
一、情境导入
如图，有一个斜坡，现在要在斜坡OC上植树造林，要保持两棵树水平间的距离为2米，那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑(已知坡面的倾斜角为16°18′，即图中的∠COD)？你能求出两坑的距离吗？
二、合作探究
探究点一：用计算器求一个锐角的三角函数值
求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)
解析：按照计算器的说明操作．
解：按下列顺序依次按键：.显示结果为0.897859012.所以sin63°52′41″≈0.8979.
计算sin20°－cos20°的值约为(保留4个有效数字)( )
A．－0.5976 B．0.5976
C．－0.5977 D．0.5977
解析：本题是一道运用计算器进行计算的题目，运用计算器可知其结果是－0.5977.故选C.
方法总结：利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书，掌握正确的按键顺序；(2)按键时要细心，不能输入错误的数据．
探究点二：用计算器完成已知三角函数值求锐角
已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α＋β≈________．(精确到1′)
解析：已知一个角的三角函数值，求这个锐角，先按，然后选择有关三角函数的键，输入sin－1或cos－1后，再输入数字，得到这个锐角的度数．此题应填48°24′.
探究点三：三角函数大小的比较
(1)锐角的正弦值和余弦值随着锐角的变化而变化．试探索：随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
(2)根据你探索到的规律，试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小关系和余弦值的大小关系；
(3)比较大小：若α＝45°，则sinα________cosα；若α<45°，则sinα________cosα；若α>45°，则sinα________cosα(填“<”“>”或“＝”)；
(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°.
解：(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小；
(2)sin18°cos88°(3)当α＝45°时，sinα＝cosα；当α<45°时，sinα45°时，sinα>cosα；
(4)∵cos70°＝sin20°，cos30°＝sin60°，∴sin10°三、板书设计
本节重点在于掌握用计算器求三角函数值和根据三角函数值求锐角，让学生了解计算器的众多功能．
