北师大版七下数第一章整式的乘除乘法公式应用的五个层次教案

北师版七下数学第一章《整式的乘除》乘法公式应用的五个层次
　　教材中给出了以下乘法公式：
　　(a+b)(a-b)=a2-b2，
　　(a±b)=a2±2ab+b2，
　　(a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3．
　　对以上的重要公式，同学们学习时要有层次，有意识地由浅入深、由简单到综合学会应用这些公式．下面从五个方面说明乘法公式的应用．
　　第一层次──正用
　　即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．
　　例1 计算
　　
　　(2)(-2x-y)(2x-y)．
　　
　　　
　　(2)原式=[(-y)-2x][(-y)+2x]
　　 =y2-4x2．
　　第二层次──逆用
　　即将这些公式反过来进行逆向使用．
　　例2 计算
　　(1)19982-1998·3994+19972；
　　
　　解 (1)原式=19982-2·1998·1997+19972
　　=(1998-1997)2=1
　　
　　　
　　第三层次──活用
　　根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．
　　例3 化简
　　(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1．
　　分析 直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．
　　解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
　　=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
　　=…
　　=216．
　　例4 计算：
　　(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
　　分析 仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：-1=2-3，5=2+3，使用公式巧解．
　　解 原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
　　=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]
　　=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5．
　　第四层次──变用
　　解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2+b2=(a+b)2-2ab，a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等，则求解十分简单、明快．
　　例5 已知a+b=9，ab=14，求2a2+2b2和a3+b3的值．
　　解 ∵a+b=9，ab=14，
　　∴ 2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]
　　=2(92-2·14)=106，
　　a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
　　=93-3·14·9=351
　　第五层次──综合后用
　　将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合，
　　可得 (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；
　　(a+b)2-(a-b)2=4ab；
　　
等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．限于篇幅，这里仅举一例．
　　例6 计算：
　　(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)
　　
　　=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2