沪科版九年级上：第23章 解直角三角形 教案（表格式）

第23章　解直角三角形
主题
解直角三角形
课型
新授课
上课时间
教学内容
23.1　锐角的三角函数;23.2　解直角三角形及其应用
教材分析
锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系,它的直接应用是解直角三角形,而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用.锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础,也是整个三角学的基础.因此,本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一.
教学目标
1.知识与技能
(1)经历由情境引出问题,探索掌握有关的数学知识内容,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力.
(2)通过实例认识直角三角形的边角关系,即锐角三角函数;知道30°,45°,60°角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的角.
(3)运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.
(4)能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题.
2.过程与方法
培养学生把实际问题转化为数学问题并进行解决的能力,进而提高学生形象思维能力;渗透转化的思想.
3.情感、态度与价值观
培养学生理论联系实际,敢于实践,勇于探索的精神.
教学
重难点
重点:
1.让学生了解三角函数的意义,熟记特殊角的三角函数值,并会用锐角三角函数解决有关问题.
2.正确选择边与角的关系以简便的解法解直角三角形.
难点:
把实际问题转化为数学问题.
知识结构
解直角三角形锐角的三角函数正切和坡度、坡角正弦、余弦特殊角的三角函数值一般锐角的三角函数值解直角三角形及其应用解直角三角形仰角、俯角与方位角坡度、坡角与其他应用
课题
23.1　锐角的三角函数
课时
第1课时
上课时间
教学目标
1.知识与技能
(1)初步了解角度与数值的一一对应的函数关系.
(2)会求直角三角形中某个锐角的正切值.
(3)了解坡度的有关概念.
2.过程与方法
让学生经历操作、观察、思考、求解等过程,感受数形结合的数学思想方法,培养学生理性思维习惯,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.
3.情感、态度与价值观
通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性,引导学生自主探索,合作交流,培养学生的创新意识.
教学
重难点
重点:(1)从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
(2)理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系.
难点:锐角三角函数的概念的理解.
二次设计
课堂导入
如图,有两个直角三角形,直角边AC与A1C1表示水平面,斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A1B1哪个更陡呢?你是怎样判断的?
答:坡面A1B1更陡,沿坡面A1B1水平移动上升垂直高度更大.
探索新知
合作探究
自学指导
阅读教材P112~114的内容
学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
合作探究
知识模块一　正切的定义
1.探究:(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
(2)B1C1AC1和B2C2AC2有什么关系?
(3)如果改变B2C2的位置(如B3C3),B1C1AC1和B3C3AC3有什么关系?
(4)由此你得出什么结论?
2.什么是锐角的正切?
续表
探索新知
合作探究
【例1】
如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tan C吗?
解:因为△ABC是等腰直角三角形,BD⊥AC,
所以CD=1.5,所以tan C=BDCD=1.51.5=1.
知识模块二　坡度与坡角
什么叫坡度?如何表示?坡度与坡角关系是怎样的?
【例2】
若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10米,则他所在的位置比原来的位置升高了　6　米.?
解析:i=tan B=ACBC=34,设AC=3x,BC=4x,
由勾股定理求得x=2,
所以AC=6,即升高6米.
教师指导
1.易错点:
正切以及坡度的概念.
2.归纳小结:
(1)
如图,在Rt△ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作:tan A=∠A的对边∠A的邻边.
(2)
如图,正切经常用来描述坡面的坡度,坡面的高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即:i=hl(坡度通常写成h∶l的形式).坡面与水平面的夹角叫做坡角.记作α,即i=hl=tan α.
当堂训练
　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
1.如图,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则tan α等于(　　)
(A)513 (B)1213 (C)512 (D)125
2.如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3,堤坝高BC=50 m,则迎水坡面AB的长度是(　　)
(A)100 m (B)1003 m (C)150 m (D)503 m
3.已知如图:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∠ACD=α,AC=1,BC=3,则tan α=　　　　　.?
第1题图
第2题图
第3题图
板书设计
第1课时　正切和坡度、坡角
知识模块一　正切的定义
知识模块二　坡度与坡角
教学反思
课题
23.1　锐角的三角函数
课时
第2课时
上课时间
教学目标
1.知识与技能
理解锐角三角函数中的正弦、余弦的概念,并能够举例说明.
2.过程与方法
经历探索正弦、余弦概念的过程,掌握运用sin A、cos A表示直角边的比.
3.情感、态度与价值观
培养良好的数形结合的能力,体会三角函数在现实生活中的应用价值.
教学
重难点
重点:理解正弦、余弦的概念.
难点:怎样运用已学过的正切以及正余弦概念解决实际问题.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
1.什么叫锐角的正切?什么叫坡度?如何表示?
答:在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度,记作:i,即i=hl.
2.
如图,∠A=30°,B1C1⊥AC,BC⊥AC,则B1C1AB1,BCAB值是什么?
答:B1C1AB1=BCAB=12.
探索新知
合作探究
自学指导
阅读教材P115的内容
学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
合作探究
知识模块一　正弦和余弦的定义
1.
如图,(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
(2)BCAB和B1C1AB1有什么关系?
(3)如果改变B1C1所在的位置(如B2C2),BCAB和B2C2AB2有什么关系?
(4)由此你得出什么结论?
2.什么叫∠A的正弦,什么叫∠A的余弦?
知识模块二　锐角的三角函数
1.什么叫锐角的三角函数?
2.教材第115页例2、例3学习
续表
探索新知
合作探究
教师指导
1.易错点:
锐角的三角函数概念.
2.归纳小结:
在直角三角形中,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即:sin A=∠A的对边斜边.类似地在直角三角形中,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即:cosA=∠A的邻边斜边.锐角的正切、正弦、余弦都叫做锐角A的三角函数.
当堂训练
1.△ABC中,∠C=90°,AB=8,cos A=34,则AC的长是　　　　.?
2.已知A为锐角,tan A=12,则sin A=　　　　　,cos A=　　　　.?
3.
如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且cos α=35,AB=4,则AD的长为　　　　　.?
板书设计
第2课时　正弦和余弦
知识模块一　正弦和余弦的定义
知识模块二　锐角的三角函数
教学反思
课题
23.1　锐角的三角函数
课时
第3课时
上课时间
教学目标
1.知识与技能
能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算;能根据30°,45°,60°角的三角函数值,说出相应的锐角大小,掌握互余两角正弦余弦之间的关系.
2.过程与方法
经历探索30°,45°,60°角的三角函数值、互余两角正弦余弦之间的关系的过程,掌握其应用方法.发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
3.情感、态度与价值观
培养良好的数形结合的能力,体会锐角三角函数的应用价值.
教学
重难点
重点:能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算;运用互余两角正弦余弦之间的关系解决问题.
难点:进一步体会三角函数的意义.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)sin A=　ac　,cos A=　bc　,tan A=　ab　,?
sin B=　bc　,cos B=　ac　,tan B=　ba　.?
(2)若∠A=30°,则ac=　12　.?
探索新知
合作探究
自学指导
阅读教材P117~119的内容
学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
合作探究
1.如何得出30°,45°,60°角的三角函数值?
2.教材第117页例4学习
阅读教材P119的内容,回答以下问题:
正弦和余弦的关系是怎样的?如何推导?
3.教材第119页例5学习
教师指导
1.易错点:
30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
2.归纳小结:
(1)特殊角三角函数值;
　　　三角函数
α　　　
sin α
cos α
tan α
30°
45°
1
60°
续表
探索新知
合作探究
(2)互余两角的正弦余弦的关系
任意一个锐角的正(余)弦值,等于它的余角的余(正)弦值.
3.方法规律:
熟记30°,45°,60°角的三角函数值是解决问题的关键.
当堂训练
1.已知α为锐角,tan(90°-α)=3,则α的度数为　　　　.?
2.计算:
(1)(tan30°-1)2+|1-tan60°|cos45°=　　　　.?
(2)cos60°+sin245°+tan30°·tan60°sin230°+cos230°=　　　　.?
3.已知α,β为锐角,且sin(90°-α)=13,sin β=14,求cos(90°?β)cosα的值.
板书设计
第3课时　特殊角的三角函数值
1.30°,45°,60°角的三角函数值
2.例4
3.例5
教学反思
课题
23.1　锐角的三角函数
课时
第4课时
上课时间
教学目标
1.知识与技能
会用计算器求一些锐角的三角函数值,运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形问题.
2.过程与方法
运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形,发展学生观察、分析、发现的能力.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
3.情感、态度与价值观
培养良好的数形结合的能力,体会锐角三角函数的应用价值.
教学
重难点
重点:会用计算器求一些锐角的三角函数值.
难点:会用计算器求一些锐角的三角函数值.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
1.填写下表
　　　三角函数
α　　　
sin α
cos α
tan α
30°
45°
1
60°
2.我们学习了特殊锐角(30°,45°,60°)的三角函数值,那么你知道15°,55°等一般锐角的三角函数值吗?本节课就将学习它们的求法.
探索新知
合作探究
自学指导
阅读教材P120~121的内容
学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
合作探究
知识模块一　一般锐角的三角函数值的求法
1.
任作一直角三角形ABC,如图,用量角器量出∠A的角度,再用计算器求出它的正弦,量出并计算BCAB的值,你有什么发现?
2.如何利用计算器求一般锐角三角函数值,举例说明.
观察手中计算器的各种按键,了解它们的功能.
例1:求sin 40°的值.(精确到0.000 1)
解:
按键顺序
显示
sin40=
0.642 787 609
所以sin 40°≈0.642 8.
例2:求sin 63°52'41″的值.(精确到0.000 1)
解:按下列顺序依次按键:sin63° ' ″52° ' ″41° ' ″=
显示结果为0.897 859 012.
所以sin 63°52'41″≈0.897 9.
续表
探索新知
合作探究
知识模块二　利用三角函数值求角
例3:已知锐角α的三角函数值,求锐角α的值:
(1)sin α=0.632 5;(2)cos α=0.389 4;(3)tanα=3.5492.
解:(1)依次按键2nd Fsin-1,然后输入函数值0.632 5,
得到结果α=39.234 809 79°;
(2)依次按键2nd Fcos-1,然后输入函数值0.389 4,
得到结果α=67.082 829 2°;
(3)依次按键2nd Ftan-1,然后输入函数值3.549 2,
得到结果α=74.264 624 79°.
教师指导
1.易错点:
计算器的各种按键.
2.归纳小结:
(1)计算器求一般锐角三角函数值,要先将角度单位状态设定为“度”.
(2)利用三角函数值求角:依次按键2nd Fsin-1,然后输入函数值,得到结果.
当堂训练
1.cos 34°35'的值是　　　　.?
2.已知sin A=0.508 6,求锐角A的按键顺序是2nd F sin-1 0 . 5 0 8 6 =,结果是　　　　.?
3.菱形的周长为80,一条对角线长为15,求另一条对角线长和内角的度数(边精确到0.1,角精确到1°).
板书设计
第4课时　一般锐角的三角函数值
知识模块一　一般锐角的三角函数值的求法
知识模块二　利用三角函数值求角　　　　
教学反思
课题
23.2　解直角三角形及其应用
课时
第1课时
上课时间
教学目标
1.知识与技能
使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
2.过程与方法
通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
教学
重难点
重点:直角三角形的解法.
难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
直角三角形ABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?
(1)边角之间关系sin A=ac,cos A=bc,tan A=ab;(2)三边之间关系a2+b2=c2(勾股定理);(3)锐角之间的关系∠A+∠B=90°.
探索新知
合作探究
自学指导
阅读教材P124~125的内容
学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
合作探究
知识模块一　解直角三角形类型与解法
1.什么叫解直角三角形?
2.解直角三角形有哪些类型?试填写下表理解.
在Rt△ABC中,∠C=90°
已知
选择的边角关系
解题思路
斜边和一直角边
c,a
两直角边
a,b
斜边和一锐角
c,∠A
一直角边和一锐角
a,∠A
课本例1学习
知识模块二　通过构造作图解直角三角形
课本例2学习
教师指导
1.易错点:
解直角三角形用到的边角关系.
2.归纳小结:
(1)在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形.
续表
探索新知
合作探究
　(2)解直角三角形类型
在Rt△ABC中,∠C=90°
已知
选择的边角关系
解题思路
斜边和一
直角边
c,a
由sin A=,求∠A;∠B=90°-∠A,b=
两直角边
a,b
由tan A=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=
斜边和
一锐角
c,∠A
∠B=90°-∠A;a=csin A,b=c·cos A
一直角边
和一锐角
a,∠A
∠B=90°-∠A;b=;c=
3.方法规律:
三角形不是直角三角形时,要用解直角三角形的知识,需构造出直角三角形.
当堂训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,c=2,则∠A=　　　　,b=　　　　.?
2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=60°,AD=4,AB=33,则下底BC的长为　　　　.?
3.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长.
第2题图
第3题图
板书设计
第1课时　解直角三角形
知识模块一　解直角三角形类型与解法
知识模块二　通过构造作图解直角三角形
教学反思
课题
23.2　解直角三角形及其应用
课时
第2课时
上课时间
教学目标
1.知识与技能
掌握仰角,俯角,方位角的概念.
2.过程与方法
会利用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
3.情感、态度与价值观
培养自主探索精神,提高合作交流和解决实际问题的能力.
教学
重难点
重点:仰角、俯角、方位角,坡角和坡度的概念及运用.
难点:转化思想在实际问题中的应用.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
1.什么是解直角三角形?
答:在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.在下列所给的直角三角形中,不能求出解的是(　B　)
(A)已知一直角边和所对的锐角 (B)已知一直角和斜边
(C)已知两直角边 (D)已知斜边和一锐角
探索新知
合作探究
自学指导
阅读教材P126~127的内容
学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
合作探究
知识模块一　仰角、俯角、方位角的定义
1.什么是仰角和俯角?
2.什么是方位角?
知识模块二　仰角、俯角、方位角的应用
1.课本例3学习
2.课本例4学习
3.课本例5学习
教师指导
1.易错点:
利用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
2.归纳小结:
(1)
什么是仰角和俯角?
答:当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
(2)
什么是方位角?
方位角:正北或正南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫　方位角　.如图中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示　北偏东　60°,　南偏东　45°(或　东南方向　),　南偏西　80°及　北偏西　30°.?
3.方法规律:
测量底部可以到达的物体的高度
“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.
续表
探索新知
合作探究
要测旗杆MN的高度,可按下列步骤进行:(如图)
1.在测点A处安置测倾器(即测角仪),测得M的仰角∠MCE=α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=1.
3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC=a.根据测量数据,就能求出物体MN的高度.
测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.
可按下面的步骤进行(如图所示):
1.在测点A处安置测角仪,测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE=α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测角仪(A,B与N都在同一条直线上),此时测得M的仰角∠MDE=β.
3.
量出测角仪的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b,根据测量的AB的长度,AC,BD的高度以及∠MCE,∠MDE的大小,根据直角三角形的边角关系.即可求出MN的高度.
当堂训练
　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
1.
如图,小红从A地向北偏东30°方向走100 m到B地,再从B地向西走200 m到C地,这时小红距A地(　　)
(A)150 m (B)1003 m
(C)100 m (D)503 m
2.
如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5 m,则大树的高度为　　　　 m.(结果保留根号)?
3.
某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10 m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角为60°(A,B,D三点在同一直线上).请你根据他们测量的数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
板书设计
第2课时　仰角、俯角与方位角
知识模块一　仰角、俯角、方位角的定义
知识模块二　仰角、俯角、方位角的应用
教学反思
课题
23.2　解直角三角形及其应用
课时
第3课时
上课时间
教学目标
1.知识与技能
理解坡角、坡度的概念,会运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题.
2.过程与方法
经历运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题的过程,提升解决问题的能力.
3.情感、态度与价值观
培养自主探索精神,提高合作交流和解决实际问题的能力.
教学
重难点
重点:坡角和坡度的概念及运用.
难点:转化”思想在实际问题中的应用.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
1.什么是坡度?如何表示?
答:坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度,坡度i=hl.
2.什么叫坡角?坡角与坡度有什么关系?
答:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i=tan α=hl.
3.小刚沿斜坡AB,每走102 米,则他的高度上升10米,则该斜坡AB的坡角α为　45°　.?
探索新知
合作探究
　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　
自学指导
阅读教材P128~130的内容
学生看书,教师巡视,老师督促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
合作探究
知识模块一　简单的坡度坡角问题
1.
如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12 m,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为(　B　)
(A)43 m (B)65 m
(C)125 m (D)24 m
2.
如图,某铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,已知路基高AE为5米,左侧坡面AB长10米,则左侧坡面AB的坡度为(　C　)
(A)1∶2 (B)1∶12 (C)1∶3 (D)1∶33
知识模块二　复杂的坡度坡角问题
课本例6学习
课本例7学习
教师指导
1.易错点:坡度的概念.
2.归纳小结:
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i=tan α=hl.
续表
探索新知
合作探究
3.方法规律:
解决堤坝横断面的问题,首先要认真读题,弄清题意,特别是关键字、词;其次要正确地画出图形,将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系;最后,运用“转化”的思想方法,通过建立解直角三角形的数学模型使问题得到解决.
当堂训练
1.水库拦水坝的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,背水坡CD的坡比i=1∶1,已知背水坡的坡长CD=24 m,则背水坡的坡角α为　　　　,拦水坝的高度为　　　　 m.?
2.如图,在坡比为i=1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是　　　　米.?
3.某人在D处测得山顶C的仰角为30°,向前走200米到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i≈1∶0.5,求山的高度(不计测角仪的高度,3≈1.73,结果保留整数).
第1题图
第2题图
第3题图
板书设计
第3课时　坡度、坡角与其他应用
知识模块一　简单的坡度坡角问题
知识模块二　复杂的坡度坡角问题
教学反思