北师大版六年级数学上册 第一单元 圆 4　圆的周长-详细教案

4　圆的周长
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圆的周长是以学生学习了长方形、正方形周长知识为认知基础的,是对前面所学“圆的认识”的深化,也是后面学习圆的面积等知识的基础。本课起着承前启后的作用,是小学几何初步知识教学中的一项重要内容,为学习圆的面积、圆柱、圆锥等知识打下坚实的基础。教材通过一系列的操作活动,让学生在观察、分析、比较、归纳中理解“圆的周长”的含义,经历圆周率的形成过程,推导圆周长的计算方法。教材安排了测量车轮(圆)的周长的活动,认识周长的意义,为下面对周长的进一步认识打下基础。教材中呈现了比较常用的两种方法:一种是在直尺上滚动的方法;一种是用线绕一圈,再量出线的长度的方法。在初步认识圆的周长和测量圆的周长后,教材安排了探究活动,即探究“圆的周长与什么有关系,有什么关系”。教材先引导学生进行猜想:由正方形的周长是边长的4倍,类比猜想圆的周长与直径之间也有一定的关系。组织学生开展实验研究活动,通过测量、计算,研究发现圆的周长与直径的关系,从而得出圆的周长计算公式。最后,教材回顾了最初的实际问题,鼓励学生直接运用周长的计算公式进行计算,解决实际问题。
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1.结合实例认识圆的周长,在探索圆的周长和直径的关系的过程中,理解圆周率的意义及圆的周长的计算方法。
2.能正确运用公式计算圆的周长,能运用圆的周长的知识解决一些简单的实际问题。
3.通过祖冲之与圆周率故事的介绍,了解圆周率的发展史,向学生进行爱国主义教育,激发学生的民族自豪感和探索精神。
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【重点】　理解和掌握圆周率的意义及圆的周长计算公式的推导过程,并利用圆的周长公式解决简单的实际问题。
【难点】　探索发现圆的周长与直径的关系,理解圆周率的意义。
第/课时　圆的周长的认识
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1.圆的周长的认识及测量圆的周长的方法。
2.探索圆的周长和直径的关系,理解并掌握圆周率的意义。
3.通过祖冲之与圆周率故事的介绍,了解圆周率的发展史,向学生进行爱国主义教育,激发学生的民族自豪感和探索精神。
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【重点】　探索发现圆的周长与直径的关系。
【难点】　探索发现圆的周长与直径的关系及圆周率的意义。
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【教具准备】　PPT课件、圆形纸板、软尺、绳子、铁丝围成的圆。
【学具准备】　圆形纸板、一元硬币、直尺、软尺、数据统计表、计算器。
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1.计算下面图形的周长。
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2.张爷爷每天早晨都要绕着公园的花坛跑步(花坛形状如下图)。如果张爷爷今天绕着花坛跑了5圈,你知道张爷爷跑了多少米吗?
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【参考答案】　1.(5+2)×2=14(cm)　4×3=12(cm)　2.10×4×5=200(m)
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方法一
1.唐老鸭和米老鼠在公园里跑步的情境(PPT课件出示)。唐老鸭沿着正方形的路线跑,米老鼠沿着圆形的路线跑,结果米老鼠获胜。唐老鸭看到米老鼠得了第一名,心里很不服气,它说这样的比赛不公平。
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师:同学们,你们认为这样的比赛公平吗?
学生根据自己的想法自由回答。
2.设置问题引入新课。
师:如果要求唐老鸭所跑的路程,实际上就是求正方形的什么?怎样求?
预设 生1:要求唐老鸭所跑的路程,实际上就是求正方形的周长。
生2:50×4=200(m)。
师:那么求米老鼠所跑的路程,实际就是求圆的什么呢?
预设 生:求圆的周长。
师:那么怎样才能求出圆的周长?圆的周长与什么有关系呢?这节课我们一起来探究圆的周长。
出示课题:圆的周长的认识。
[设计意图]　“兴趣是最好的老师”。利用学生都非常喜欢的动画形象引入新课,能够吸引学生的参与热情,由于还没有学过圆的周长的求法,无法算出米老鼠跑的路程,利用这个问题设下了认知障碍,激发了学生的求知欲望。
方法二
1.(PPT课件出示李爷爷沿着正方形草坪的边缘散步的情境)
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提问:(1)李爷爷散步一圏所走的路程是多少米?
(2)你是怎么算的?你为什么这样算呢?
(3)李爷爷散步一圈所走的路程恰好是这个正方形的什么?
2.把正方形改成圆形,引入圆的周长。
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提问:①那么李爷爷现在散步一圈所走的路程又是多少呢?
②李爷爷散步一圈所走的路程恰好是这个圆的什么?
今天这节课,我们就一起来研究圆的周长的有关知识。
揭示课题:圆的周长的认识。
[设计意图]　利用学生已学的知识引入新课,能充分调动学生的学习积极性,把学生的注意力集中到课堂中来,通过变换图形自然引出本节新知。
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师:圆是封闭的曲线图形,它与正方形、长方形一样都是有周长的,那么什么是圆的周长,怎样计算圆的周长呢?
(一)圆的周长认识及测量。
1.圆的周长的认识。
师:(PPT课件出示教材第9页最上面的图)
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请同学们看,这里有两辆车,如果要举行骑车比赛,你想用哪辆车参加呢?为什么?
预设 生1:用第一个,车轮比较大的。
生2:车轮大速度快。
师:根据生活经验我们知道,自行车的车轮大速度就快,那么是什么原因呢?
预设 生:车轮转一周的距离长。
师:那么车轮滚动一周的长度是它的什么?
预设 生:车轮的周长。
师:那么什么叫圆的周长?
(出示PPT课件)我们已经知道,围成圆的这条线是一条什么线?这条曲线的长就是什么的长?
预设 生:一条曲线,圆的周长。
师:围成圆的曲线的长叫作圆的周长。
师:(拿出一个用铁丝围成的圆)谁来说说这个圆的周长就是指哪一部分的长?(学生边指边说)
师:请同桌之间相互边指边说,我这个圆片的周长就是指哪一部分的长。(学生相互指说)
[设计意图]　通过直观观察自行车车轮,与正方形作类比,实际感知、迁移类推,使学生在头脑中建立了清晰的圆周长的表象。
2.测量圆的周长。
师:我们可以用直尺测量长方形、正方形、三角形等图形的周长,那么怎样测量圆的周长呢?
(1)直接化曲为直。
师:(用铁丝和直尺演示)圆的周长如果用直尺去直接测量方便吗?为什么?
　　预设 生:不方便。因为直尺是直的,而圆的周长却是曲的。
师:噢,这条线是曲的,有没有办法把这条曲线变直呢?
预设 生:有,只要把它截断拉直就行了。
师:(用手比划截断拉直)同学们想象一下,它就变成了什么呢?
预设 生:一条线段。
师:(出示PPT课件,化曲为直,再化直为曲)我们看,把圆这条曲线切断展开拉直以后,它就变成了一条线段。这条线段的长就是什么的长?
预设 生:就是圆的周长。
师:你现在能知道这个圆的周长吗?
预设 生:只要用直尺去测量这条线段的长度。
师:对,圆的周长虽然不能用直尺把它直接测量出来,但是我们可以用展开的方法,通过“化曲为直”,只要测量出这条线段的长,我们就可以知道这个圆的周长。
(2)间接化曲为直。
①借助线绳化曲为直。
师:(出示一教具圆片)但是,这个圆的圆周要展开就很麻烦了,我们用什么方法也可以化曲为直测量出它的周长呢?看谁最聪明!
　　预设 生:用线去绕。
　　师:怎么绕?可以绕给同学们看看吗?
(师生合作用绕线的方法去测量圆周长)
师:这样绕了以后,怎样就知道了圆的周长呢?
(生说明用线绕圆一周以后,捏紧这两个正好连接的端点,把线拉直,这两点之间线的长就是圆的周长)
操作练习:同桌之间相互合作,用这种绕线的方法测量出一个圆片的周长。
②滚动圆形化曲为直。
师:如果圆形无法展开,也没有线绳,怎样能测量出圆的周长呢?
预设 生:把圆放在直尺上滚动一周。
师:(师用直尺和圆片演示)同学们动手试一试吧!
学生小组合作,探究测量方法。
思考:怎么知道圆正好滚动一周呢?直尺上读数时要注意什么?
集体汇报,演示。
学生汇报的过程中重点强调:滚动圆时在圆上取一点作个记号,并对准直尺的零刻度线,然后把圆沿着直尺滚动,直到这一点又对准了直尺的另一刻度线,这时候圆就正好滚动一周,就是圆的周长。
[设计意图]　通过不断地设疑,再通过操作验证解疑,激发学生探究的热情,找到解决问题的方法。通过直接和间接两种方法渗透化曲为直的数学思想,培养学生主动探索和实践的精神。
(二)圆的周长与直径的关系。
师:每天马路上都会有各种车辆穿行,如果想测量这些车的车轮周长,用绕线和滚动的方法方便吗?
学生自由发表看法。
师:是啊,这些测量方法都有一定的局限性,这就需要我们探讨出一种求圆周长的普遍规律。
1.探究发现圆的周长与直径的关系。
(1)初步认识圆的周长与直径的关系。
师:我们已经知道正方形的周长与它的边长有关,周长是边长的4倍,圆的周长是否也与圆内某线段长有关系呢?
(出示PPT课件:以三条不同长度的线段为直径,分别画出三个大小不同的圆)
师:观察一下,在这三个圆中,你发现了什么?
预设 生1:我发现第一个圆的直径最短,周长也最短。
生2:我发现第三个圆的直径最长,周长也最长。
师:那么关于圆的直径和周长能否总结出什么规律?
预设 生:圆的直径越短,圆的周长也就越短;圆的直径越长,圆的周长也就越长。
师:这就说明圆的周长肯定与圆的直径有关系,到底有什么关系呢?这个问题要同学们自己去发现。
(2)深入探究圆的周长与直径的比值关系。
①学生合作测量、计算。
操作方法:同桌之间相互分工,一位同学测量圆片的周长,一位学生测量圆片的直径,并计算出周长除以直径所得的商,得数保留两位小数,并把数据记录下来。
②集体汇报,整理数据。
学生汇报测量和计算的结果,教师利用课件将数据进行整理。
组名
周长
直径
比值
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
……
　　③观察数据,发现规律。
师:从这组数据中,同学们发现了什么吗?
学生根据测量的数据,汇报圆的周长和直径间的比值都是3点几。
师:同学们测量的圆中,不管是大圆还是小圆,每一个圆的周长都是它直径的3倍多一些。那么我们可以用一句话来概括圆周长与直径的关系吗?
生:圆的周长都是直径的3倍多一些。
[设计意图]　探究圆的周长和它的直径间的比值关系对理解圆周率的意义至关重要。通过直观观察、精确测量、计算等环节,由浅入深逐步探究,使学生认识到圆的周长和它的直径不只是大小的关系,比值上还有固定值。
(3)理解圆周率的意义。
师:这就是圆的周长与直径的关系。请同学们自学教材第9页。
思考:圆的周长与直径的这个关系在数学上叫什么?怎样表示?数值是多少?
学生汇报,教师利用课件适时介绍讲解。
预设 生1:圆的周长除以它的直径的商是一个固定的值,我们把它叫作圆周率。
生2:圆周率用字母“π”表示。(此时教师要指导“π”的读写法)
生3:计算时通常取3.14。
(4)介绍圆周率的资料。
师:关于圆周率,大家都知道什么?
(学生自由发言,教师要给予鼓励)
师:老师也收集了一些有关的资料,请同学们看。
(出示PPT课件并介绍:祖冲之在数学上的杰出成就,是关于圆周率的计算。秦汉以前,人们以“径一周三”作为圆周率,这就是“古率”。后来发现古率误差太大,圆周率应是“圆径一而周三有余”,不过究竟余多少,意见不一。祖冲之在前人成就的基础上,经过刻苦钻研,反复演算,求出π在3.1415926与3.1415927之间。祖冲之为之付出了艰辛的努力,他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的。祖冲之计算得出的密率,外国数学家获得同样结果,已是一千多年以后的事了。为了纪念祖冲之的杰出贡献,有些外国数学史家建议把π叫作“祖率”。)
[设计意图]　学生第一次接触“圆周率”“π”“3.14”等专有的数学词汇,引导学生自学并向同学介绍,能够激发他们的成就感;另外通过介绍祖冲之与圆周率的课外知识,使学生产生对数学的敬畏之情,激发他们的爱国热情。
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1.教材第10页第1题。
2.教材第10页第2题。
【参考答案】　1.提示:用绕线的方法或在直尺上滚动的方法都可以。　2.4　4
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这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报。
预设 生1:这节课我知道了什么是圆的周长,围成圆的曲线的长度就是圆的周长。
生2:我还知道了圆的周长和它的直径的商是一个固定的值,这个值就是圆周率,用字母π表示。
师:圆周率是一个无限不循环的小数,我们在计算时一般取多少?
生3:一般取3.14。
生4:我知道我国著名的数学家祖冲之在圆周率的研究中做出了巨大的贡献,比国外的研究要早1000多年。
师:圆周率的探究经历了漫长的过程,希望同学们以后也能成为数学方面的专家,在研究圆周率方面取得更伟大的成就,为数学领域做出贡献。
[设计意图]　通过叙述本节课的收获,不但对所学知识做系统的梳理,再次明确圆周率的意义,而且激发学生努力学习、热爱数学的热情。
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作业1
收集有关圆周率的课外知识。
【参考答案】
作业1:略。
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圆的周长的认识
/　　围成圆的曲线的长度就是圆的周长　
绕线法
滚动法
化曲为直
圆的周长÷直径=圆周率　π≈3.14
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本节课从学生的生活实践经验和已有的知识展开教学,通过层层预设,逐步引导学生进行探究活动,并根据知识点的难易程度设置合适探究的方法,同时根据课堂出现的新的生成性信息进行适时的调整,改变预设的程序,从而提高课堂效率,真正发挥自主学习的作用。教学中,根据不同的内容,适时放手让学生动手操作,让学生在操作中探索新知,理解新知,学习新知,培养学生动手操作的能力、激发学习兴趣。
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(1)很多环节只注重学生的操作及教师的讲解,而忽略了多媒体课件的作用,仅靠教师的描述和学生的想象建立相应的知识表象,有时是不准确的。
(2)对于学生自主学习能力、自我探究发现能力的培养还是很欠缺的,为了顺利完成教学任务,很多知识都是老师直接讲授,缺少学生自我探究的过程。
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(1)充分利用多媒体课件进行演示,给学生直观的感受,增强对圆的周长的表象认识,同时通过数学教学与多媒体课件的有效整合,使课堂信息量加大,教学过程图文并茂、生动活泼。
(2)在教学中,对于简单的问题教师不能替学生“包办”,限制学生的思维,多给学生创造自主学习的机会,根据学生实际情况进行有针对性的指导,并充分发挥学生的主体作用,提高了教学效率。
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/　将两个半径分别为4 cm和6 cm的半圆按右图所示的方式放置,求阴影部分的周长。
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[名师点拨]　半径为4 cm的圆的周长的一半与半径为6 cm的圆的周长的一半的和,再加上一条4 cm长的半径和线段AB的长,就得到阴影部分的周长。
[解答]　3.14×4+3.14×6+4+(6 - 4+6)=12.56+18.84+12=43.4(cm)。
答:阴影部分的周长是43.4 cm。
【知识拓展】　求复杂图形阴影部分的周长时,可先把围成阴影部分的线用笔描粗或用彩笔描出来,然后确定由哪几条曲线或线段组成,通过分解或组合用周长公式计算即可。
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圆周率的历史
圆周率,也就是圆周与直径的比值,是一个非常奇特的数。
《周髀算经》上说“周三径一”,把圆周率看成3,但是这只是一个近似值。美索不达米亚人在做第一个轮子的时候,也只知道圆周率是3。
魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注。他发现“周三径一”只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术,认为圆内接正多边形边数无限增加时,周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的周长与直径的比=
3927
1250
。刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中,这在世界数学史上也是一项重大的成就。
祖冲之(公元429~500年)在前人的计算基础上继续推算,求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,是世界上最早的七位小数精确值,他还用两个
分数值来表示圆周率:
22
7
称为约率,
355
113
称为密率。
在欧洲,直到1000年后的十六世纪,德国人鄂图和安托尼兹才得到这个数值。
现在有了电子计算机,圆周率已经算到了小数点后一千万位以上了。
第/课时　圆周长计算公式的推导
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1.利用圆周率的意义推导圆的周长计算公式并熟记圆的周长的计算公式。
2.能正确运用公式计算圆的周长,能运用圆的周长的知识解决简单的实际问题。
3.经历知识的探索过程,使学生体会到知识的内在联系,同时培养学生解决实际问题的能力。
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【重点】　理解周长计算公式,利用圆的周长知识解决简单的实际问题。
【难点】　探索组合图形周长的计算思路。
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【教具准备】　PPT课件。
【学具准备】　圆规、圆形卡片。
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1.选一选。
(1)所有车轮都做成圆形是利用了圆的(　　)的特性。
A.曲线图形　　　　　B.容易加工
C.圆心到圆上任意一点都相等
(2)圆周率表示(　　)。
A.圆的周长
B.圆的面积与直径的倍数关系
C.圆的周长与直径的倍数关系
(3)圆的周长与直径的比值是一个(　　)。
A.循环小数 B.有限小数
C.无限不循环小数
2.填一填。
(1)同一个圆内直径是半径的(　　)。
(2)圆周率用字母(　　)表示,一般取近似值是(　　)。
(3)如图所示的图形是由一个正方形、一个大圆和两个相等的小圆组成的,如果正方形的边长是8厘米,小圆的半径是(　　)厘米。
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【参考答案】　1.(1)C　(2)C　(3)C　2.(1)2倍　(2)π　3.14　(3)2
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方法一
1.回顾旧知。
师:同学们还记得上节课我们学习了哪些知识吗?
预设 生1:认识了圆的周长。
生2:学习了圆的周长的测量方法。
生3:知道了圆的周长和直径的关系。
生4:学习了圆周率。
2.引入新课。
师:上节课我们在探究圆周率时,是在测量出圆的周长和直径后,发现它们之间的倍数总是一个固定范围的数值,我们称它为圆周率,取值一般保留两位小数是3.14。那么反过来,知道了圆的直径或半径,能不能求出圆的周长呢?这节课我们就来探究圆的周长计算方法。
出示课题:圆周长计算公式的推导。
[设计意图]　通过回顾上节课所学知识,一方面对圆周率的意义进行巩固,同时使学生体会到圆的周长的计算一定与圆周率有关,从而顺利进入新课的学习。
方法二
PPT课件出示几种圆形的机器零件,请学生观察,并谈话:你们见过这些东西吗?这是什么?
学生自由表达看法。
师:很多机器、车辆等都需要圆形的零件,设计这些零件时工人师傅可不敢马虎。同学们还记得上节课,我们是怎样测量圆形的周长吗?
预设 生1:绕绳法。
生2:滚动法。
师:那么工人师傅能不能用这两种方法精准地测量出圆形零件的周长呢?
学生自由发言。
师:是啊,这两种方法不好操作,测量时很容易出现误差,那么我们能不能更准确地知道一个圆形的周长呢?
学生发表各自看法,教师顺势引出课题。
师:这节课我们来探究圆的周长的计算方法。
揭示课题:圆周长计算公式的推导。
[设计意图]　通过学生比较熟悉的实际生活事例,使学生认识到对于圆的周长采用绕绳法、滚动法等测量方法,很多时候并不适用,产生认知冲突,激起学习的欲望。
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过渡语:对于圆的周长我们是否可以像计算正方形、长方形的周长那样利用周长公式来计算呢?圆是否有周长计算公式?这个公式与什么有关呢?
一、探究圆的周长计算公式
1.猜测。
师:我们知道正方形的周长与它的边长有关,长方形的周长与它的长和宽有关,同学们猜测一下圆的周长与什么有关。
预设 生1:与直径有关。
生2:与半径有关。
生3:与圆周率有关。
师:同学们说得是否正确?我们来验证一下吧!
[设计意图]　在推导圆的周长公式之前设计让学生猜测圆的周长与什么有关的问题,主要为了让学生将新旧知识间很好地联系起来。
2.验证、推导圆的周长计算公式。
(1)小组合作、交流,探究圆的周长公式。
教师巡视,了解讨论情况,适时进行指导。
(2)交流汇报。
师:老师发现很多小组已经推导出圆的周长计算公式,我们来听一听吧!
预设 生:圆的周长公式是“周长=直径×圆周率”。
师:其他同学同意他的说法吗?那么怎样得出的这个计算公式呢?
预设 生:因为圆的周长÷直径=圆周率,所以根据逆运算周长=直径×圆周率。
师:如果只知道一个圆的半径,能否求出周长呢?
预设 生1:半径是直径的一半,只要半径乘2就可以求出直径,就能求出圆的周长了。
生2:圆的周长=半径×2×圆周率。
3.认知圆的周长公式的字母表示形式。
(出示PPT课件,教师一边操作课件一边讲解)
师:你表现得真棒!为了方便,圆的周长可以用字母“C”来表示,我们还知道直径用字母“d”表示,圆周率用字母“π”表示,那么你能用字母表示出圆的周长公式吗?
预设 生:圆的周长公式用字母表示是:C=πd。(学生可能也会表述成C=dπ,此时教师要强调为了记忆方便一般表示为C=πd)
师:那么如果只知道半径,怎样用字母表示圆的周长公式呢?
预设 生:C=2πr。(学生可能也会表述成C=2rπ或C=π2r等,此时教师要强调为了记忆方便一般表示为C=2πr)
[设计意图]　对圆的周长公式的推导主要从圆周率的意义入手,有上节课知识作为铺垫,学生能够通过自主探究的形式发现圆的周长公式。因此以上两个环节采取学生自己探究,教师适当引导的形式,将学习的主动权交给学生。
二、利用圆的周长计算公式解决实际问题
师:我们知道了圆的周长计算公式,利用公式求出圆的周长就方便多了,我们试试吧!
1.课件出示教材第9页最上面的图。
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师:同学们还记得这两幅图吗?如果参加比赛你会选择哪辆车作为你的工具呢?为什么呢?
预设 生1:大自行车。
生2:因为它的车轮大,滚一圈的距离远。
生3:它们的周长不同。
师:是啊,大车轮转一圈的长度要比小车轮转一圈的长度长,实际上是说两个车轮的周长不同。
(1)估一估两个车轮的周长。
师:(出示PPT课件)就是两个车轮的外圆的周长不同。如果大车轮的直径是70厘米,小车轮的直径是10厘米,估一估它们的周长分别是多少?
预设 生1:大车轮的直径是70厘米,圆周率大约是3,它的周长大约是210厘米。
生2:小车轮的直径是10厘米,周长大约是30厘米。
(2)计算车轮的周长。
师:怎样精确计算呢?
学生利用圆的周长公式分别计算两个车轮的周长。学生汇报,教师板书:大车轮周长:3.14×70=219.8(cm)。小车轮周长:3.14×10=31.4(cm)。引导学生再次小结:车轮越大,滚一圈的距离越远,也就是圆的直径越大周长就越大。
[设计意图]　本环节通过设计比较两个车轮大小的问题,引导学生利用圆的周长计算公式估计、精确计算求出两个圆的周长,既训练了利用公式解决实际问题的能力,又再次印证“轮子越大,滚一圈越远”的道理。
2.出示教材第10页第三个例题的组合图形:你能计算出下面图形的周长吗?
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师:这个图形的周长指的是哪部分,你能指一指吗?
学生先在教材的图中用笔描一描,然后找一名学生到屏幕前指一指。
师:这个图形可以一笔描画下来,你能看出是由什么图形组成的吗?
预设 生:是由一个大半圆和两个小半圆组成的。
师:大半圆和小半圆的直径之间有什么关系?
预设 生:大圆的半径是小圆的直径。
(学生回答,教师按照学生描述,在黑板上用不同颜色的粉笔画出这个组合图形。)
师:我们发现这是由三个半圆组成的图形,它是组合图形,怎样计算它的周长呢?同学们试一试吧!
学生尝试计算,汇报计算过程,教师板书:
3×2×3.14÷2=9.42(cm),
3×3.14÷2×2=9.42(cm),
9.42×2=18.84(cm)。
并强调分别求出三个半圆的周长,再把它们加起来。
[设计意图]　学生第一次计算含有圆的组合图形的周长,清晰地知道计算的周长应该是哪部分十分重要,因此本环节首先设计让学生实际画一画、指一指、说一说等活动,明确图形的周长及组成,再探究计算方法就迎刃而解了。
3.拓展延伸,优化解决方法。
师:我们按照图形的构成计算出组合图形的周长,还有更简单的方法吗?
(1)学生尝试计算,教师巡视了解学生计算情况。由于本题计算思路多样,学生汇报时只要有道理,计算正确,教师就应给予鼓励。重点引导学生分析大圆和小圆的关系,发现更简单的计算方法。
师:同学们认真观察,大圆的直径和小圆的直径有什么关系?
预设 生:大圆直径的一半是小圆的直径。
师:那么你知道这样的两个圆的周长各是多少吗?
(通过课件出示这样的两个圆,一个圆的直径是6厘米,一个圆的直径是3厘米,引导学生利用圆的周长公式表示这两个圆的周长,并发现它们之间的关系。)
预设 生:大圆的周长:6π厘米,小圆的周长:3π厘米。
师:这两个圆的周长之间有什么关系?
预设 生:小圆的周长是大圆周长的一半。
(再次引导学生观察教材第10页的组合图形)
师:如果把右边的小半圆平移到左边,你会发现什么?
预设 生1:平移后两个半圆组成一个小圆。
生2:这个组合图形的周长实际上就是大圆的周长。
师:你能用更简单的方法计算出组合图形的周长吗?
学生尝试计算,并集体汇报订正:2×3.14×3=18.84(cm)。
(2)师生小结:大圆的直径是小圆直径的2倍,大圆的周长也是小圆周长的2倍。
[设计意图]　学习数学不仅是解决问题本身,而且要通过数学问题学会如何用数学的思维去思考。本环节通过引导学生分析、理解大圆和小圆的关系,向学生渗透“转化”的数学思想,同时在对比中优化方法。
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1.教材第10页第3题。
2.教材第11页第4题。
3.教材第11页第7题。
【参考答案】　1.3×2×3.14=18.84(cm)　18.84>18　不够。　2.3.14×0.3×2=1.884(m)　1.884×1000=1884(m)　3.量得直径为2 cm,画图略。周长为3.14×2=6.28(cm)。
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师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报。
预设 生:这节课我知道了圆的周长计算公式,C=πd或C=2πr。要知道求车轮滚动一周的长度就是求车轮的周长;计算组合图形的周长时,要先观察组合图形的周长是什么,再看这个图形是由哪些图形组成的,把每部分的周长计算出来再求出总和;计算组合图形的周长时也可以先分析各组成部分的关系,用简单方法计算。我还知道了大圆直径是小圆直径的几倍,那么大圆周长也是小圆周长的几倍。
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作业1
教材第11页第5题。
【参考答案】
作业1:5.62.8÷3.14=20(m)
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圆周长计算公式的推导
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本节课重难点的解决充分利用了多媒体直观、形象、动态地展示知识形成过程的作用,把学生放在学习的主体地位,让学生适当进行动手画一画、指一指,充分调动学生学习的积极性,让学生面对困难自己想办法解决。在教学过程中层层设疑,逐步解决,不但教给学生如何计算圆的周长问题,同时教给学生思考方法,渗透“优化”“转化”等数学思想,培养学生数学思维能力。
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(1)对于推导圆的周长计算公式部分比较容易理解,教学中没有放手让学生自己去探索总结,而是在教师的引导下进行归纳的,没有充分发挥学生学习的探究能力。
(2)在练习的设计上内容较多。为了教学需要在知识点的讲解时安排了拓展练习,同时随堂练习设计的内容也比较多,使课堂教学显得时间紧张,课堂节奏比较快。
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(1)多给学生独立思考、合作交流的机会,尽量避免“问答”形式的课堂模式。对于新知的学习教师通过设置有效的问题,让学生自己去交流、解决,教师作适当的引导。
(2)无论拓展练习还是巩固练习都要根据课堂的实际情况进行适当调整,设计精巧,使之有针对性和层次性,多数学生有能力当堂完成,高质高效完成教学任务。
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【练一练·10页】
2.4　4　3.3×2×3.14=18.84(cm)　18.84>18　不够。　4.3.14×0.3×2=1.884(m)　1.884×1000=1884(m)　5.62.8÷3.14=20(m)　6.3.14×6÷2=9.42(m)　7.量得直径为2 cm,如右图所示。周长为3.14×2=6.28(cm)。　8.3.14×10=31.4(m)　9.正方形的周长为2×4=8(cm),圆的周长为2×3.14=6.28(cm),8>6.28,所以沿正方形走的蚂蚁走的路程长。
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/　计算下面图形的周长。
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[名师点拨]　此图是由两个半径相等的半圆组成的图形,周长即为直径4厘米的圆的周长。
[解答]　这个图形是由两个相同的半圆组成,计算时有两种思考方法:一是先计算出一个半圆的周长,再乘2;二是下面的半圆向上平移和上面的半圆组成一个圆形,计算出完整的一个圆的周长即可。
方法1:4×3.14÷2×2=12.56(cm)。
方法2:4×3.14=12.56(cm)。
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割圆术
3世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法,所谓割圆术,就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周长的方法。
“割圆术”,则是以“圆内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的周长无限接近圆的周长,进而来求得较为精确的圆周率。
刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”。那么圆周率究竟是指什么呢?它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”。很幸运,这是个不变的“常数”!我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。如果没有它,那么我们对圆和球体等将束手无策。同样,圆周率数值的“准确性”也直接关乎我们有关计算的准确性和精确度。这就是人类为什么要求圆周率,而且要求得准的原因。
根据“圆周长÷圆直径=圆周率”,那么圆周长=圆直径×圆周率=2×半径×圆周率(这就是我们熟悉的圆周长=2πr的来由)。知道“圆周率的含义”,就可自行推导计算。