北师大版六年级数学上册 第一单元 圆 5　圆周率的历史-详细教案

5　圆周率的历史
“圆周率的历史”这部分的教学是在学生通过简单试验初步体验了圆周率和利用圆周率计算圆的周长之后安排的数学阅读内容,主要目的是挖掘圆周率蕴含的教育价值,让学生了解自古以来人类对圆周率的研究历程,领略与计算圆周率有关的方法,为学生打开一扇窥视数学文化发展史的窗户。教材呈现了以圆周率的探索过程为主线的阅读内容,从古老的测量到正多边形逼近再到近代的一些方法,体现圆周率的悠久历史和人类对圆周率的不断探索过程。其中对古希腊数学家阿基米德用圆内接正多边形和圆外切正多边形从两个方向上同时逼近圆,及我国刘徽用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆和祖冲之算出π的值在3.1415926和3.1415927之间的介绍,激发学生民族自豪感。通过提出问题引导学生在阅读中学会思考,学会分析问题,提出问题;通过收集、展示有关圆周率的历史资料,感受数学的魅力,激发学生研究数学的兴趣。
1.了解我国和世界历史上的数学家对研究圆周率的历程、做出的贡献和取得的成就。
2.收集整理有关圆周率历史的资料,激发研究数学的兴趣。
3.结合圆周率发展历史的阅读,体会人类对数学知识不断探索的过程,感受数学文化的魅力,激发民族自豪感。
【重点】　阅读、收集、展示有关圆周率历史的资料,体会人类对数学知识不断探索的过程,感受数学文化的魅力,激发民族自豪感。
【难点】　体会人们探索圆周率的过程及方法的演变。
【教师准备】　PPT课件。
【学生准备】　有关圆周率历史的资料。
1.(　　)表示圆的周长除以它的直径的商。
2.圆周率用字母(　　)表示。
3.已知圆的直径,圆的周长公式是(　　　　);已知圆的半径,圆的周长公式是(　　　　)。
【参考答案】　1.圆周率　2.π　3.C=πd　C=2πr
方法一
师:同学们,在学习圆的周长这部分知识的时候,我们知道圆的周长与它的直径的商是一个固定值,我们称它为什么?
预设 生:圆周率。
师:圆周率的出现解决了很多数学上的难题,是数学研究史上的一项巨大成就,这节课我们一起学习圆周率的历史,相信你们会有更多收获。
[设计意图]　课前通过师生间的交流,自然引出本节课的内容,教师采用激励性的语言激发学生的学习兴趣,使学生产生渴望学习的情绪,为新课做好铺垫。
方法二
课件播放“祖冲之”的画像展开谈话。
师:同学们,还记得这位老者是谁吗?
预设 生:祖冲之。
师:他在数学领域有什么重要的贡献?
学生自由谈了解到的关于祖冲之的资料,视课堂实际情况及时结束交流。
师:关于圆周率的研究,祖冲之取得了卓越的成就,另外还有很多数学家为之付出过艰辛的努力,为数学研究做出过巨大的贡献。同学们想知道他们都是谁吗?他们是用什么方法研究圆周率的吗?
这节课我们一起走进圆周率的历史。
出示课题:圆周率的历史。
[设计意图]　从学生比较熟悉的内容引入新课,学生会有更多的话题愿意交流。所以导入时从学生已经有些了解的数学家“祖冲之”展开,使学生体会到还有很多数学家对圆周率的研究做出了巨大贡献,想了解更多的知识。
师:轮子是古代的重要发明,由于轮子的普遍应用,人们很容易想到这样一个问题:一个轮子滚一圈可以滚多远?轮子滚动一圈的距离与它的直径是否有关系呢?有怎样的关系?古今中外有很多数学家对此都有过研究,他们都是谁?用什么方法研究的呢?
一、分享信息
师:圆周率的研究历史经历了几千年,相信同学们搜集到的信息也是很丰富的,老师建议把圆周率的历史分为三个时期来交流:(出示PPT课件)测量计算时期、推理计算时期、新方法时期。
1.小组设计汇报思路。
师:各小组商量一下怎么汇报,推荐代表,比一比,哪个小组汇报得全面、丰富。
要求:在汇报的时候请介绍清楚代表人物、基本方法、大约年代、主要结论。
学生分小组讨论汇报思路,教师巡视了解情况。
2.汇报收集的信息。
(1)测量计算时期。
师:哪个小组来介绍第一个时期——测量计算时期。
预设 生:人们很早就注意到了圆周率。大约在2000多年前,中国的《周髀算经》就有介绍。方法是通过轮子转一圈的长度,观察到圆的周长和直径之间有一定的联系,通过测量、计算出圆的周长总是直径的3倍多。
补充预设:
①《周髀算经》中的记载是“周三径一”。“周”就是周长,“径”指的是直径,“周三径一”是如果一个圆的周长是3份的话,直径就是1份。也就是一个圆的周长大约是直径的3倍。
②测量计算时期圆周率一般都采用3来计算圆的周长。
③基督教中的《圣经》也把圆周率取为3,我国的《周髀算经》比《圣经》要稍微早一些。
④大约公元前950年,中国、印度、巴比伦几乎都在使用3这个数值来表示圆周率。
(2)推理计算时期。
过渡语:随着时间的推移,数学家们对圆周率的研究更加深入,成绩更为卓著,圆周率的研究进入了推理计算时期。说一说有哪些研究吧!
学生汇报整理的资料。
预设 生:代表人物有古希腊的阿基米德,用的方法是利用圆内接正多边形和圆的外切正多边形进行研究;中国的刘徽用的是“割圆术”,得到圆周率的近似值是3.14; 1500多年前祖冲之得到了π的两个分数形式的近似值,约率为227,密率为355113。算出π的值在3.1415926到3.1415927之间。这一成就在世界上领先了约1000年。
补充预设:
①阿基米德在《圆的度量》中,利用圆的外切与内接96边形,求得圆周率π为:22371<π<227,这是数学史上最早的,明确指出误差限度的π值;
②阿基米德和刘徽大约是同时代的人,不过阿基米德研究圆周率的时间比刘徽稍微早一些,他们研究的方法不同。
(介绍阿基米德和刘徽研究圆周率的不同方法。)
师:通过阅读我们可以了解到阿基米德和刘徽虽然大约是同一时代的数学家,但是他们研究圆周率的方法是不相同的,他们分别用了什么方法?
预设 生1:阿基米德用圆内接正多边形和圆外切正多边形从两个方向同时逐步逼近圆。
生2:刘徽的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。
教师通过PPT课件和微视频演示阿基米德和刘徽计算圆的不同方法,并做简单介绍。
阿基米德的方法:出示圆的内接正六边形、外切正六边形图形;接着出示圆的内接正十二边形、外切正十二边形图形。圆的周长处于内外两个正六边形之间,同样,也会处在内外两个正十二边形之间,这样,越来越接近圆的周长。
刘徽的方法:他由圆内接正六边形算起,逐渐把边数加倍,算出正12边形、正24边形、正48边形、正96边形……的面积,这些面积会逐渐地接近圆面积。这是一种非常重要的数学思想。按照这样的思路,刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正192边形,并由此而求得了圆周率的近似值是3.14。
师:祖冲之用什么方法得到那么精确的圆周率已经很难知道了,但可以肯定刘徽的方法给了他很大的启发和影响。
(3)新方法时期。
师:刘徽和祖冲之的方法,是否是正多边形的边数越多,计算出的圆周率越精确呢?
预设 生:是的。
师:由于计算量太大,数学家们对圆周率的计算一直都非常艰难。但是,随着电子计算机的出现,这个问题顺利解决了,π的小数点后面的精确数字发展到成千上万、甚至几万亿位。
二、分享感受
师:我们共同了解了这么多有关圆周率的知识,通过交流收集整理到的资料,你有什么感受和大家分享呢?
学生充分发表自己的感受,教师要视情况给予肯定和鼓励。
[设计意图]　本环节采用教材资料与课外知识相结合展示的方式,整理、补充教材资料,使学生对圆周率的发展史了解更全面;对于重点、学生难于理解的知识,如刘徽和阿基米德计算圆的不同方法,利用课件进行展示,发挥多媒体生动、形象、直观的作用。
师:这节课你们收获和感受了什么?
学生反馈汇报。
预设 生:通过这节课的学习我知道了圆周率的发展历史已经有几千年了,我国在圆周率的研究方面取得了举世瞩目的成就。古代数学家刘徽、祖冲之用自己的聪明才智和坚持不懈的毅力,计算出圆周率的精确程度比其他国家要早很多年。计算机的出现使圆周率的计算更为精确,到2000年已经达到小数点后面的12411亿位。
圆周率的历史
　　测量计算时期　　　　　　　 推理计算时期　　　　新方法时期
《周髀算经》　　　　　　　　阿基米德　　　　　　计算机
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　刘徽　　　　　　　　小数点后面12411亿位
　　　祖冲之
教学的过程中没有仅限于教材提供的材料,充分发挥数学阅读课的特点,教师、学生共同补充从课外获取到的相关资料。拓展学生的视野,同时激发学生利用网络、书籍等自主获取知识的兴趣。本节课中,我把“分享”作为主线,给他们设计好分享的步骤,主持分享的过程。他们在分享中互相学习,了解圆周率的历史、受到数学家们不懈努力的熏陶,增强民族自豪感。
(1)在圆周率的历史中,涉及的深奥的数学思想和知识比较多,比如,有极限思想、外切、内接等。活动的过程中多注重资料的介绍,对数学思想和知识并未做明确的解释,没有拓宽知识面。
(2)本节课涉及的信息量大,知识深,在资料分享的过程中引导不够到位,使学生汇报的信息出现重复、烦琐的情况,影响了活动的进程。
(1)课前对本节阅读课所涉及的数学思想和知识进行整理和归纳,让教师课前的预设与学生课中的生成有机结合,提高课堂效率。同时,结合对应的资料,利用课件生动、形象、直观地加以展示,使学生收获的不仅仅是简单的资料,而且有数学思想和数学方法的渗透。
(2)学生在分享收集信息的过程中,及时进行引导,使之有条理、分类别,注重培养学生收集、整理信息的能力。
圆周率日
圆周率日(Pi day)是庆祝圆周率π的特别日子。正式日期是3月14日,由圆周率最常用的近似值3.14而来。
圆周率日是一年一度的庆祝数学常数π的节日,时间被定在3月14日。通常是在下午1时59分庆祝,以象征圆周率的六位近似值3.14159,有时甚至精确到26秒,以象征圆周率的八位近似值3.1415926;习惯24小时计时的人在凌晨1时59分或者下午3时9分(15时9分)庆祝。全球各地的一些大学数学系在这天举办派对。
计算π最稀奇的方法之一
计算π的最为稀奇的方法之一,要数18世纪法国的科学家C·布丰和他的投针试验:在一个平面上,用尺画一组相距为d的平行线;一根长度小于d的针,扔到画了线的平面上;如果针与线相交,则该次扔出被认为是有利的,否则则是不利的。布丰惊奇地发现:有利的扔出与不利的扔出两者次数的比,是一个包含π的表示式.如果针的长度等于d,那么有利扔出的概率为2π。扔的次数越多,由此能求出越为精确的π的值。
公元1901年,意大利数学家拉兹瑞尼做了3408次投针,给出π的值为3.1415929——准确到小数点后6位.不过,不管拉兹瑞尼是否实际上投过针,他的试验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑.通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π,这是着实令人惊讶的!