北师大版六年级数学上册 第一单元 圆 7　圆的面积(二)-详细教案

7　圆的面积(二)
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圆的面积(二)是对圆的面积计算公式的应用,意在引导学生利用圆的面积计算公式解决一些简单的实际问题,进一步培养学生解决问题的能力。同时,使学生感受到圆的面积计算方法的实用价值。为此教材呈现了“节水型灌溉”的现实情境,旋转喷水头转动一周,灌溉农田的形状是圆,把实际问题转化为圆的问题。此外教材还安排了一道已知圆的周长求圆的面积的问题,考查学生对圆的相关知识的综合运用能力,渗透“从未知想需知,从已知想可知”的数学思维方法,培养基本数学素养。另外,在独立阅读、操作、合作交流的基础上,探究一种有意思的推导圆的面积公式的方法:即将圆形变形为三角形,分析三角形与原来圆的关系,推导圆的面积计算方法,进一步丰富学生探索圆面积公式的方法,培养学生阅读能力,渗透“等积变形”的数学思想。
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1.能正确运用圆的面积计算公式计算圆的面积,并能解决一些简单的实际问题。
2.在多个探究圆面积公式的活动中,体会圆的半径、周长、面积之间的关系。
3.结合剪杯垫的活动,进一步丰富学生探索圆面积公式的方法,并体会“等积变形”的数学思想。
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【重点】　正确运用圆面积计算公式解决简单的实际问题。
【难点】　体会圆的半径、周长、面积之间的关系。
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【教师准备】　PPT课件、杯垫。
【学生准备】　剪刀、杯垫。
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1.将圆转化为平行四边形后,(　　)不变。平行四边形的底等于圆的(　　),用字母表示是(　　);平行四边形的高等于圆的(　　),用字母表示是(　　)。因为平行四边形的面积=(　　),所以圆的面积=(　　),用字母公式表示为(　　)。
2.一个圆,半径是3厘米,直径是(　　)厘米,周长是(　　　　),面积为(　　　　)。
3.把半径为5厘米的圆转化成一个平行四边形后,面积为(　　　　),周长为(　　　　)。
【参考答案】　1.面积　周长的一半　
1
2
C　半径　r　底×高　
1
2
Cr　S=πr2　2.6　18.84厘米　28.26平方厘米　3.78.5平方厘米　41.4厘米
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方法一
1.创设情境、提出问题。
PPT课件出示教材第16页中农田喷水主题图。
师:请同学们观察这幅插图,说说从图中你能发现哪些数学知识?
学生观察并讨论,然后指名回答。
预设 生1:我能发现喷水头转动一周所走过的地方刚好是一个圆形。
生2:这个圆形的半径就是喷水头喷水的距离,是3米。
生3:这个圆形的圆心就是喷水头那里。
生4:被喷到水的农田大小就是这个圆形的面积。
2.引入新课。
师:在实际生活中,我们经常要用到圆的知识,今天这节课我们就来学习利用圆的面积公式解决实际问题。
出示课题:圆的面积(二)。
[设计意图]　由生活中的实际问题引入新知,让学生体会到生活中的很多问题都蕴藏着数学问题,激发利用所学知识解决实际问题的兴趣,为学习新知打下基础。
方法二
1.回顾圆的面积计算公式。
师:上节课我们利用转化的方法推导出圆的面积计算公式,谁还记得圆的面积计算公式是什么?
生:S=πr2。
2.引入新课。
师:有了圆面积计算公式,解决有关圆面积的问题就方便多了。这节课我们就利用圆的面积公式解决生活中的实际问题。
揭示课题:圆的面积(二)。
[设计意图]　通过回顾圆的面积计算公式及观察教材主题图,使学生明确本节课探究的问题仍然与圆的面积有关,为新课学习做好铺垫。
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一、利用圆的面积公式解决问题
1.已知圆的半径求面积。
(1)PPT课件出示教材第16页“节水型灌溉”情境图,观察:说说从图中发现了哪些数学知识。
预设 生1:喷水头转动一周形成了一个圆形。
生2:喷水头就是圆心。
生3:圆的半径是喷头喷水的距离,也就是3米。
(2)出示探究的问题。
思考:求喷水头旋转一周,浇灌多大面积的农田,也就是求什么?怎样计算?
(3)小组合作、探究。
要求:①“喷水头旋转一周,浇灌多大面积的农田”是什么意思?
②怎样计算?
学生小组合作交流,列出算式计算,教师巡视了解讨论情况。
(4)集体汇报,展示。
预设 生1:求喷水头旋转一周,浇灌多大面积的农田,是圆形的面积。
生2:已知圆的半径是3米。
生3:圆的面积公式是S=πr2,所以圆的面积是
3.14×32
=3.14×9
=28.26(平方米)
(5)小结:求喷水头旋转一周,浇灌多大面积的农田就是求半径3 m的圆的面积是多少平方米,再应用圆的面积计算公式进行计算。
[设计意图]　解决本问题的关键是引导学生将实际问题转化为图形,因此本环节采用了联系实际、观察、合作探究的方式,使学生认识到灌溉农田时喷水头转动一周形成了圆形,进而利用圆形面积公式计算出面积。
2.已知圆的周长求面积。
(1)PPT课件出示教材第16页第二幅情境图,观察并思考怎样计算羊圈的面积。
小组讨论、交流,议一议:要计算圆形羊圈的面积,必须先算出什么?为什么?怎样算?
(2)集体汇报、教师点评。
汇报重点围绕:要计算圆的面积,就要先求出圆的半径,以及计算半径的方法。
师:通过观察我们知道这个羊圈是圆形,要求的是什么?怎样计算?
预设 生1:要求的是羊圈的面积。
生2:要求羊圈面积就要先求出圆的半径。
生3:已知圆的周长是125.6米,根据公式C=2πr,r=C÷π÷2,所以半径是125.6÷3.14÷2=20(米)。
生4:圆的面积是S=πr2,3.14×202=1256(平方米)。
(3)探究其他计算方法,总结算法。
师:上面采用的方法是为了计算圆的面积,我们要先求出圆的半径,想一想,还有其他计算方法吗?
学生独立思考,尝试计算,教师巡视,对于思考有困难的同学给予适当指导。
交流、汇报:为了计算圆的面积,先求出什么?怎样计算?
生1:我采用的是先求出圆的直径,再计算圆的面积。
生2:已知圆的周长是125.6米,直径是125.6÷3.14=40(米)。
生3:圆的面积是3.14÷
40
2
2
=1256(平方米)。
(4)小结算法。
如果已知圆的周长,必须先算出圆的半径或直径,再应用圆的面积公式算出面积。
[设计意图]　学生已经掌握了圆面积的计算公式,本环节大胆放手让学生尝试解答,从而促进了理论与实践的结合,培养了学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
二、转化推导圆的面积的计算方法
师:解决上面两道实际问题时,我们都用到了圆的面积计算公式,同学们还记得上节课我们将圆形转化为什么图形推导出圆的面积吗?
生:平行四边形。
师:接下来我们共同来探究另一种非常有意思的圆的面积公式的推导方法。
1.阅读教材第16页有意思的推导。
思考:①这种推导方式是将圆形转化为什么形状?
②转化后什么改变了?什么没有变?
③转化前后的图形有什么关系?
2.小组讨论、交流。
学生操作,用学具剪一剪、议一议、填一填,并将有用的信息记录下来。
3.小组展示。
预设 小组1:我们小组将圆形杯垫沿着半径剪成一个近似三角形。
小组2:三角形的底相当于圆的周长,高是圆的半径。
小组3:因为三角形的面积=底×高÷2,所以圆的面积=圆周长×半径÷2。
小组4:用字母表示是 S=2πr×r÷2 =πr2,
4.小结。
师:可以将圆形转化为近似三角形,三角形的底是圆的周长,三角形的高是圆形半径,把三角形的面积计算公式中的底和高换成圆形中对应的周长和半径即可推导出圆面积计算公式。
[设计意图]　本环节充分调动学生学习将圆形转化为平行四边形推导圆面积计算公式的知识经验,通过操作交流、合作探究的方式,利用转化思想推导圆面积计算公式,在推导圆面积计算公式的过程中,提高观察、分析、总结能力。
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1.教材第17页第3题。
2.教材第17页第4题。
【参考答案】　1.周长的一半　半径　
2π??
2
　r　πr2　2.周长:61.5×3.14≈193.1(m)　面积:3.14×
61.5
2
2
≈2969.1(m2)
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师:通过这节课的学习你有什么收获?
学生反馈汇报。
预设 生1:这节课我能利用圆的面积公式解决生活中的实际问题。
生2:在计算有关面积的实际问题时要把问题转化成圆,找到圆的半径,就能计算出面积了。
生3:如果已知圆的周长,要计算圆的面积,就要先用周长除以π求出半径,再利用圆面积公式计算面积。
生4:我学习了一种非常有趣的圆面积推导公式,把圆沿半径剪开转化成三角形,就可以推导圆的面积计算公式。
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作业1
教材第18页第4,5题。
【参考答案】
作业1:4.(1)2×3.14×10=62.8(cm)　(2)3.14×102=314(cm2)　5.3.14×
1
2
2
=3.14×
1
4
=0.785(m2)
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圆的面积(二)
已知圆的半径求面积:　　　　　已知圆的周长求面积:
　　　　　S=πr2 =3.14×32 =28.26(m2)　　　　　　　r=C÷π÷2 =125.6÷3.14÷2 =20(m)　　S=πr2 =3.14×202 =1256(m2)
利用圆面积公式先求出半径,再计算面积。
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S=
底×高
2
=
周长×半径
2
=
2??r×r
2
=πr2.
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本节课在教学应用圆的面积计算公式解决简单的实际问题中既重视学习结果,又重视学习过程,培养学生自己探索知识与获取知识的能力。教学中通过将实际问题转化为数学知识,使学生掌握解决问题的计算方法,更重要的是教给学生思考方法。始终坚持“学以致用”这一教学原则,做到灵活应用所学知识。在探究“有意思的推导圆的面积的方法”中,敢于放手让学生自己动手操作,归纳推理,通过学生剪拼、转化、观察、操作,利用“等积变形”的方法把圆面积转化成三角形面积,逐步归纳出圆的面积的计算方法。这样多层次的操作,多角度的探究,激发了学生求知欲,学生同时体验到成功的乐趣,学习数学的快乐,从而培养学生的数学情感。
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(1)在将圆形转化为三角形推导圆的面积公式过程中,只让几位学生讲述了推导的过程,而把大部分的学生的口述给忽略了,使得有一部分的学生对公式的推导还不能很好进行口述。
(2)课堂教学环节的设计中,前两个问题占用的时间较长,导致后面的“有意思的推导圆的面积的方法”没有足够的时间进行操作、演示。
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(1)将探究“有意思的推导圆的面积的方法”环节设计得更开放些,让学生课前先寻找需要实验的素材,自行确定其研究方案,真正实现根据学生的需求进行教学,并注重学生口述的练习,从而明确推导思路。
(2)在教学过程中合理分配教学时间,增加学生自主探究的机会,前两个利用圆的面积计算公式解决实际问题的教学,教师提出有价值的思考问题,引导学生独立探究,而不是教师一步步“牵着”学生的思路走。
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【练一练·17页】
1.3.14×42=3.14×16=50.24(cm2)　2.31.4÷3.14÷2=5(m)　3.14×52=78.5(m2)　3.周长的一半　半径　
2π??
2
　r　πr2　4.周长:61.5×3.14≈193.1(m)　面积:3.14×
61.5
2
2
≈2969.1(m2)　5.50×20=1000(m2)　3.14×(20÷2)2=314(m2)　1000+314=1314(m2)　6.3.14×122 - 3.14×82=251.2(cm2)　3.14×52=78.5(cm2)　5×5×
1
2
×4=50(cm2)　78.5 - 50=28.5(cm2)
【练习一·18页】
1.(1)提示:圆的直径等于正方形的边长,圆心在正方形的中心,即两条对角线的交点处。如下图所示。(2)正方形的面积为4×4=16(cm2),
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圆的面积为3.14×(4÷2)2=12.56(cm2),剩下部分的面积为16 - 12.56=3.44(cm2)。　2.如下表所示。
半径/cm
直径/cm
周长/cm
面积/cm2
0.5
1
3.14
0.785
1.5
3
9.42
7.065
7
14
43.96
153.86
3.3.14×62=113.04(m2)　4.(1)2×3.14×10=62.8(cm)　(2)3.14×102=314(cm2)　5.3.14×
1
2
2
=3.14×
1
4
=0.785(m2)　6.12.56÷10÷3.14=0.4(m)　7.1755.26 mm　1915.4 mm　2072.4 mm　2232.54 mm　8.圆的面积为3.14×(16÷2)2=200.96(cm2)　长方形的宽为200.96÷16=12.56(cm)　9.它们的面积不一样大,圆形的面积大。正方形的面积:62.8÷4=15.7(cm),15.7×15.7=246.49(cm2)。圆的面积:62.8÷3.14÷2=10(cm),3.14×102=314(cm2),314>246.49,圆的面积大。　10.1 km=1000 m,3.14×0.5=1.57(m),1000÷1.57≈637(圈)。　11.(1)他们两人走的路程不一样。①31.4　②11　34.54　③3.14　(2)因为半径不同,所以周长就不同,所以只有起点的位置不同,才能使所处的跑道长是相同的400 m。
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/　求下图中阴影部分的面积。(单位:cm)
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[名师点拨]　这个图形是由正方形和圆组成的,阴影部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积,圆的直径是正方形的边长。
[解答]　S正方形=4×4=16(cm2),
S圆=3.14×
4
2
2
=12.56(cm2),
S阴影=16 - 12.56=3.44(cm2)。
答:阴影部分的面积是3.44 cm2。
【知识拓展】　求阴影部分的面积时,注意用转化思想,可以将不规则的阴影部分转化、组合成学过的平面图形再来求,或用整个图形的面积减去空白部分的面积,求出阴影部分的面积。
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探究圆面积的天文学家——开普勒
16世纪的德国天文学家开普勒,是一个爱观察、肯动脑筋的人。开普勒当过数学老师,他对求面积的问题非常感兴趣,曾进行过深入的研究。开普勒也仿照切西瓜的方法,把圆分割成许多小扇形;不同的是,他一开始就把圆分成无穷多个小扇形。圆面积等于无穷多个小扇形面积的和。
开普勒运用无穷分割法,求出了许多图形的面积。1615年,他将自己创造的这种求圆面积的新方法发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形,并果敢地断言:无穷小的扇形面积,和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上,向前迈出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书,很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作,称赞这本书是人们创造求圆面积新方法的灵感源泉。