沪科版八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形 达标测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形 达标测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 106.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-05 20:29:39 | ||
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文档简介
第15章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )
2．一个等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为( )
A．16 B．21 C．27 D．21或27
3．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为( )
A．50° B．65° C．80° D．50°或80°
4．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠A
D．∠EBC＝∠ABE
5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )
A．24°
B．48°
C．72°
D．66°
6．点P(2，3)关于直线x＝m的对称点为(－4，3)，关于直线y＝n的对称点为(2，－5)，则m－n等于( )
A．2 B．－2 C．0 D．3
7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是( )
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
9．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周长等于AB＋AC.其中正确的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二、填空题(每题3分，共18分)
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
12．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为________(用含a的式子表示)．
13．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为________．
14．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝80°，则∠BnBn＋1Bn＋2的度数为________度．(用含n的代数式表示，n≥1，n为整数)
15．在平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，2)，若点M为x轴上一点，且MA＋MB最小，则点M的坐标为________．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有________个．
三、解答题(21，22题每题12分，其余每题7分，共52分)
17．尺规作图：如图，已知△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)作BC边上的中线AD；
(2)在中线AD上求作一点E，使得点E到AB、BC的距离相等．
18.如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在△ABC的角平分线上，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
20．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)AD＝DE.
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD垂直平分BC；
(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
22．(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC的边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.写出线段AF与BD之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC的边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论；
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出新的结论，并证明你得出的结论．
答案
一、1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.C
7．C 点拨：如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，
则AO＝OB，AO＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA.
∵∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝∠OBA＋∠OCA，
∴∠BAC＞∠ABC＋∠ACB.
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＞90°，
即△ABC是钝角三角形，故选C.
8．D 9.C 10.C
二、11.4
12．3a 点拨：由折叠的性质，得DE＝BE，则∠EDB＝∠B＝30°，∴∠AED＝60°.∵FD⊥BC，∴∠FDE＝∠FDB－∠EDB＝60°.
∴△DEF为等边三角形．∴△DEF的周长＝DE＋EF＋DF＝3a.
13.° 14.
15. 点拨：作点A关于x轴的对称点A′，则A′(－1，－1)．连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小．易求得过点A′，B的直线的表达式为y＝x－，则点M的坐标为.
16．6
三、17.解：(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点D.连接AD，如图．
(2)作∠ABC的平分线BO交AD于点E，如图．
18．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
∵∠BEC＋∠BCE＋∠ABC＝∠CDB＋∠DBC＋∠ACB＝180°，∴180°－∠BEC－∠BCE＝180°－∠CDB－∠CBD，
即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O在△ABC的角平分线上．
理由如下：连接AO.
在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO，
∴点O在∠BAC的平分线上，即点O在△ABC的角平分线上．
19．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．
(2)解：由(1)可知△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝∠C，
∴∠B＝(180°－40°)＝70°，
∴∠1＋∠2＝110°，∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF＝70°.
20．证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠B＝60°.
又∵∠ADC＝∠2＋∠ADE＝∠1＋∠B，∴∠1＝∠2.
(2)在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD.
∵∠B＝60°.∴△BMD是等边三角形，
∴∠BMD＝60°.∴∠AMD＝120°.
∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，△ABC是等边三角形，
∴∠ECA＝60°，∴∠DCE＝120°.∴∠AMD＝∠DCE.
∵BA－BM＝BC－BD，∴MA＝CD.
在△AMD和△DCE中，∠1＝∠2，AM＝DC，∠AMD＝∠DCE，
∴△AMD≌△DCE(ASA)．∴AD＝DE.
21．(1)证明：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴点A，D均在线段BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC.
(2)证明：由(1)得，AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.
∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE，
∴∠BAF＝∠ADE，∴DE＝AE.
(3)解：DE＝BE＋AC.证明如下：
由(2)得∠BAF＝∠CAF.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF，
∴∠BAF＝∠EDA，∴EA＝ED.
∵EA＝EB＋BA＝EB＋AC，∴DE＝BE＋AC.
22．解：(1)AF＝BD.证明如下：
∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCA＝60°.
同理，DC＝CF，∠DCF＝60°.
∴∠BCA－∠DCA＝∠DCF－∠DCA，即∠BCD＝∠ACF.
在△BCD和△ACF中，
∴△BCD≌△ACF(SAS)，∴BD＝AF.
(2)AF＝BD仍然成立．
(3)Ⅰ.AF＋BF′＝AB.证明如下：由(1)知，BD＝AF.同(1)中证明△BCD≌△ACF类似，可证得△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF＋BF′＝BD＋AD＝AB.
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF＝AB＋BF′.
证明如下：由题意得∠BCF′＝∠ACD.在△BCF′和△ACD中，
，∴△BCF′≌△ACD(SAS)，∴BF′＝AD.
又由(2)知，AF＝BD，∴AF＝BD＝AB＋AD＝AB＋BF′.
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )
2．一个等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为( )
A．16 B．21 C．27 D．21或27
3．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为( )
A．50° B．65° C．80° D．50°或80°
4．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠A
D．∠EBC＝∠ABE
5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )
A．24°
B．48°
C．72°
D．66°
6．点P(2，3)关于直线x＝m的对称点为(－4，3)，关于直线y＝n的对称点为(2，－5)，则m－n等于( )
A．2 B．－2 C．0 D．3
7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是( )
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
9．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周长等于AB＋AC.其中正确的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二、填空题(每题3分，共18分)
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
12．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D(不与B，C重合)是BC上任意一点，将此三角形纸片按如图的方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为________(用含a的式子表示)．
13．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为________．
14．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝80°，则∠BnBn＋1Bn＋2的度数为________度．(用含n的代数式表示，n≥1，n为整数)
15．在平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，2)，若点M为x轴上一点，且MA＋MB最小，则点M的坐标为________．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有________个．
三、解答题(21，22题每题12分，其余每题7分，共52分)
17．尺规作图：如图，已知△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)作BC边上的中线AD；
(2)在中线AD上求作一点E，使得点E到AB、BC的距离相等．
18.如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在△ABC的角平分线上，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
20．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)AD＝DE.
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD垂直平分BC；
(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
22．(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC的边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.写出线段AF与BD之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC的边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
(3)深入探究：
Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论；
Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出新的结论，并证明你得出的结论．
答案
一、1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.C
7．C 点拨：如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，
则AO＝OB，AO＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA.
∵∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝∠OBA＋∠OCA，
∴∠BAC＞∠ABC＋∠ACB.
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＞90°，
即△ABC是钝角三角形，故选C.
8．D 9.C 10.C
二、11.4
12．3a 点拨：由折叠的性质，得DE＝BE，则∠EDB＝∠B＝30°，∴∠AED＝60°.∵FD⊥BC，∴∠FDE＝∠FDB－∠EDB＝60°.
∴△DEF为等边三角形．∴△DEF的周长＝DE＋EF＋DF＝3a.
13.° 14.
15. 点拨：作点A关于x轴的对称点A′，则A′(－1，－1)．连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小．易求得过点A′，B的直线的表达式为y＝x－，则点M的坐标为.
16．6
三、17.解：(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点D.连接AD，如图．
(2)作∠ABC的平分线BO交AD于点E，如图．
18．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
∵∠BEC＋∠BCE＋∠ABC＝∠CDB＋∠DBC＋∠ACB＝180°，∴180°－∠BEC－∠BCE＝180°－∠CDB－∠CBD，
即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O在△ABC的角平分线上．
理由如下：连接AO.
在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO，
∴点O在∠BAC的平分线上，即点O在△ABC的角平分线上．
19．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．
(2)解：由(1)可知△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝∠C，
∴∠B＝(180°－40°)＝70°，
∴∠1＋∠2＝110°，∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF＝70°.
20．证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠B＝60°.
又∵∠ADC＝∠2＋∠ADE＝∠1＋∠B，∴∠1＝∠2.
(2)在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD.
∵∠B＝60°.∴△BMD是等边三角形，
∴∠BMD＝60°.∴∠AMD＝120°.
∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，△ABC是等边三角形，
∴∠ECA＝60°，∴∠DCE＝120°.∴∠AMD＝∠DCE.
∵BA－BM＝BC－BD，∴MA＝CD.
在△AMD和△DCE中，∠1＝∠2，AM＝DC，∠AMD＝∠DCE，
∴△AMD≌△DCE(ASA)．∴AD＝DE.
21．(1)证明：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴点A，D均在线段BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC.
(2)证明：由(1)得，AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.
∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE，
∴∠BAF＝∠ADE，∴DE＝AE.
(3)解：DE＝BE＋AC.证明如下：
由(2)得∠BAF＝∠CAF.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF，
∴∠BAF＝∠EDA，∴EA＝ED.
∵EA＝EB＋BA＝EB＋AC，∴DE＝BE＋AC.
22．解：(1)AF＝BD.证明如下：
∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠BCA＝60°.
同理，DC＝CF，∠DCF＝60°.
∴∠BCA－∠DCA＝∠DCF－∠DCA，即∠BCD＝∠ACF.
在△BCD和△ACF中，
∴△BCD≌△ACF(SAS)，∴BD＝AF.
(2)AF＝BD仍然成立．
(3)Ⅰ.AF＋BF′＝AB.证明如下：由(1)知，BD＝AF.同(1)中证明△BCD≌△ACF类似，可证得△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF＋BF′＝BD＋AD＝AB.
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF＝AB＋BF′.
证明如下：由题意得∠BCF′＝∠ACD.在△BCF′和△ACD中，
，∴△BCF′≌△ACD(SAS)，∴BF′＝AD.
又由(2)知，AF＝BD，∴AF＝BD＝AB＋AD＝AB＋BF′.