1.3.2 _x-a_+_x-b_≥c,_x-a_+_x-b_≤c型不等式的解法 课件（21张PPT）

课件21张PPT。绝对值不等式的解法4

|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
① 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
② 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
③ 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法一：利用零点分段法求解 . 解析：① 当x<－3时，
原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)< ＋1，
解得x<10，∴x<－3 .② 当－3≤x< 时，
原不等式化为(x＋3)－(1－2x)< ＋1，
解得x<－ ，∴－3≤x<－ .③ 当x≥ 时，
原不等式化为(x＋3)－(2x－1)< ＋1，
解得x>2，∴x>2 .解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3 .分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解．
对于形如|x＋a|＋|x＋b|的代数式，可以认为是分段函数．方法一：利用零点分段法求解 .
当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3
解得：x≤－ .
当－1 即2≥3 . 不成立，无解．
当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3 .
所以x≥ .
综上，可知原不等式的解集为?方法二：通过构造函数，利用函数的图象求解
将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0 .
构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，

即y＝
作出函数的图象(如右图)．函数的零点是－ ， .
从图象可知，当x≤－ 或x≥ 时，y≥0，
即|x＋1|＋|x－1|－3≥0 .
所以原不等式的解集为 .解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3 .解析：方法三：利用绝对值不等式的几何意义求解
如下图，设数轴上与－1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1, 1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x .∴－1－x＋1－x＝3，得x＝－ ，
同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3，B1对应数轴上的x，
∴x－1＋x－(－1)＝3 . ∴x＝ .
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3 .
∴原不等式的解集是 .解不等式|x－1|＋|x－2|>5 .解析：方法一：利用零点分段法求解
分类讨论|x－1|＝0 . |x－2|＝0的根1, 2把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定义．代数式|x－1|＋|x－2|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．(1) 因为在x≤1的限制条件之下：
|x－1|＋|x－2|＝1－x＋2－x＝3－2x，
所以当x≤1时，
|x－1|＋|x－2|>5?3－2x>5?2x<－2?x<－1 .
因此不等式组 的解集为(－∞,－1)．
(2)因为在1 |x－1|＋|x－2|＝x－1＋2－x＝1 .
所以当15无解．
因此不等式组 的解集为 ? .(3)由于在x≥2的限制条件之下：
|x－1|＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3，
所以当x≥2时，|x－1|＋|x－2|>5?2x－3>5?2x>8?x>4 .
所以不等式组 的解集为(4,＋∞)．
于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，
即(－∞,－1)∪?∪(4, ＋∞)＝(－∞, －1)∪(4, ＋∞)．方法二：通过构造函数，利用函数的图象求解
|x－1|＋|x－2|>5?|x－1|＋|x－2|－5>0 .
构造函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|－5，
于是原不等式的解集为{x|f(x)>0}．
写出f(x)的分段解析表达式：
f(x)=
作出函数f(x)的图象如下图所示．f(x)为分段函数，其零点为－1，4，于是f(x)>0?x<－1或x>4 .
所以原不等式的解集为(－∞,－1)∪(4,＋∞)．方法三：利用绝对值不等式的几何意义求解
x为不等式|x－1|＋|x－2|>5的解集?x是与数轴的点A(1)及B(2)两点距离之和大于5的点．由于A、B两点的距离1，线段AB上的点不符合要求，利用图形(如上图)，可知符合条件的点应该是在A点的左侧离A最近距离是2，在B点的右侧离B最近距离为2的点处，即x>4或x<－1，所以原不等式的解集为(－∞,－1)∪(4,＋∞)．不等式|x－2|＋|x－1|≥5的解集是____________________．{x|x≥4 或 x≤－1}解析：方法一：利用零点分段法求解
当x≤1时，原不等式可以化为－(x - 2)-(x－1)≥5，
解得x≤－1.
当1 即1≥5 . 不成立，无解．
当x≥2时，原不等式可以化为(x-2)＋(x－1)≥5 .
所以x≥4 .
综上，可知原不等式的解集为{x|x≤－1 或x≥4} .
不等式|x|＋|x＋1|＜2的解集是______________．解析：方法一：利用零点分段法求解
当x≤-1时，原不等式可以化为－x - (x+1)<2，
解得 .
当-1 即1<2 . 成立．
当x≥0时，原不等式可以化为x＋(x+1)<2 .
所以 .
综上，可知原不等式的解集为{x| } .形如|x－a|＋|x－b|≥c (或≤c) 型的不等式主要有三种解法：
(1)分段讨论法：利用零点分段法求解
利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞, a]，(a, b]，(b,＋∞) (处设a(2)图象法：通过构造函数，利用函数的图象求解
作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解
(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解
利用|x－a|＋|x－b|>c (c>0) 的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
The end
谢谢大家