第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.1.3 导数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．曲线的切线和曲线有且只有一个公共点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．若y＝f(x)在点(x0，f(x))处有切线，则f′(x0)不一定存在
解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为x＝x0，故C错误，D正确．
答案：D
2．曲线f(x)＝3 x＋x 2在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝5x－1 B．y＝－5x＋1
C．y＝x＋1 D．y＝－x－1
解析：k＝ ＝5.
f(1)＝4.由点斜式得y－4＝5(x－1)，即y＝5x－1.
答案：A
3．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
解析：因为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x 0)＝2>0.
答案：A
4．若曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：因为f′(1)＝ ＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1.
答案：A
5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)
C．(2，8) D.
解析：设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝＝＝ ＝
[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.
因为k＝3，所以 3x＝3，所以 x0＝1或x0＝－1，
所以 y0＝1或y0＝－1.
所以 点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．
答案：B
二、填空题
6．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝________．
解析：设切点为P(x0，y0)，易知，y′＝2x.
由
得即P(－1，1)．
又P(－1，1)在直线2x＋y＋m＝0上，
故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1.
答案：1
7．曲线f(x)＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．
解析：f′(x)＝＝＝x.因为直线x－y＋1＝0的斜率为1，所以x＝1，所以f(1)＝×1＝，切点为.故切线方程为y－＝1·(x－1)，即x－y－＝0.
答案：x－y－＝0
8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
解析：由导数的几何意义，得f′(1)＝，又切点在切线上，故f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
三、解答题
9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解：y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x0＝4，解得x0＝2.
所以y0＝x＝4，即P(2，4)．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x1＝－，解得x1＝－.
所以y1＝x＝，即Q.
故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．
解：因为抛物线过点P，所以a＋b＋c＝1，①
根据导数的定义知y′＝2ax＋b，所以y′|x＝2＝4a＋b，
所以4a＋b＝1，②
又抛物线过点Q，所以4a＋2b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
所以实数a，b，c的值分别为3，－11，9.
B级 能力提升
1．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1，3)，则b的值为( )
A．3 B．－3 C．5 D．－5
解析：点(1，3)既在直线上，又在曲线上．由于y′＝
＝3x2＋a，所以y′|x＝1＝3＋a＝k，将(1，3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又点(1，3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，故1＋a＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3.
答案：A
2．已知函数y＝f(x)在区间[0，3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1、k2、k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
解析：由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝，为直线AB的斜率，由图象易知k1>k3>k2.
答案：k1>k3>k2
3．若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．
解：因为y＝x3＋3ax.
所以y′＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.
设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得
解得所以a＝1－.
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