第三章 导数及其应用
3.2 导数的计算
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x·log3 e D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：因为′＝x′＋′＝1－，所以A选项错误；
又(log2x)′＝，所以选项B正确；
又(3x)′＝3xln 3，所以选项C错误；
又(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以选项D错误．
答案：B
2．f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则x0等于( )
A. B．－ C．± D．±1
解析：f′(x)＝3x2，由f′(x0)＝6，知3x＝6，所以 x0＝±.
答案：C
3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝( )
A．2 B．ln 3
C. D．－ln 3
解析：f′(x)＝axln a，则f′(1)＝aln a＝ln 27，
解得a＝3，所以f′(x)＝3xln 3.
故f′(－1)＝3－1ln 3＝.
答案：C
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2 C．e2 D.
解析：因为y＝ex，所以 y′＝ex，所以 y′|x＝2＝e2＝k，所以 切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.在切线方程中，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，所以 S三角形＝×|－e2|×1＝.
答案：D
5．若f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 013(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
解析：因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 013(x)＝f1(x)＝cos x.
答案：C
二、填空题
6．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．
解析：设点P的坐标为(x0，y0)，
因为f′(x)＝4x3－1，所以 4x－1＝3，所以 x0＝1.
所以 y0＝14－1＝0，所以 即得P(1，0)．
答案：(1，0)
7．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．
解析：由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，所以 f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
答案：1
8．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，
令x＝0，得y＝1.
答案：1
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2)y＝(－2)2；
(3)y＝x－sin cos .
解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
法二：因为y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，
所以 y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2)因为y＝(－2)2＝x－4＋4，
所以 y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4×x－＝1－2x－.
(3)因为y＝x－sin cos ＝x－sin x，
所以 y′＝x′－′＝1－cos x.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又知f′(x)＝2x－8，
所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又知g(0)＝3.
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)．即7x＋y－3＝0.
B级 能力提升
1．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
解析：y′＝－＝－，
设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，
因为t＋≥2，所以 y′∈[－1，0)，α∈.
答案：D
2．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f′(－x)＝f′(x)，
即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)对任意x∈R都成立，
所以a＝0，f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，
曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x，
答案：y＝－3x
3．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解：f′(x)＝a＋.
因为点(2，f(2))在切线7x－4y－12＝0上，
所以 f(2)＝＝.
又曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，
所以 ??
所以 f(x)的解析式为f(x)＝x－.
(2)证明：设为曲线y＝f(x)上任意一点，则切线斜率k＝1＋，切线方程为y－＝
(x－x0)，令x＝0，得y＝－.
由得
所以 曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0||－|＝6，为定值．
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