第三章 导数及其应用
3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝x2－ln x的单调减区间是( )
A．(0，1) B．(0，1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
解析：因为y＝x2－ln x的定义域为 (0，＋∞)，
所以 y′＝x－，令y′＜0，即x－＜0，
解得：0＜x＜1或x＜－1.
又因为x＞0，所以 0＜x＜1.
答案：A
2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
解析：显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；
对于C，y′＝3x2－1＝3，
故函数在和上为增函数，
在上为减函数；对于D，y′＝－1(x＞0)．
故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数．
答案：B
3．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B. C. D．π
解析：因为f(x)＝cos x－sin x＝－sin(x－)，
所以当x－∈，即x∈时，
y＝sin(x－)单调递增，y＝－sin(x－)单调递减，
因为函数f(x)在[－a，a]是减函数，
所以[－a，a]?
所以0
答案：A
4．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．
答案：D
5．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，因为x>1，所以0<<1，
所以k≥1，故选D.
答案：D
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________．
解析：令f′(x)＝1－2cos x＞0，得cos x＜，又x∈(0，π)，所以＜x＜π.
答案：
7．若函数f(x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－ax－2＝－.
因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解．
又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解．
①当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，
ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；
②当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，
若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，
则解得－1≤a<0，
而当a＝－1时，f′(x)＝＝≥0，不符合题意，故－1③当a＝0时，显然符合题意．
综上所述，a的取值范围是(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
8．函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调递增函数，则m的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意可知f′(x)≥0在R上恒成立，所以Δ＝4－12m≤0，即m≥.
答案：
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ln x－f′(1)x＋1－ln 2，试求f(x)的单调区间．
解：由f(x)＝ln x－f′(1)x＋1－ln 2，x∈(0，＋∞)，
得f′(x)＝－f′(1)．
令x＝1，则f′(1)＝1－f′(1)，所以f′(1)＝，
f′(x)＝－.
由f′(x)>0，即－>0，得0由f′(x)<0，即－<0，得x>2.
故f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．
10．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，
所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．
因为二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
因此Δ＝4－12m≤0，故m≥.
当m＝时，使f′(x)＝0的点只有一个x＝－，也符合题意．故实数m的取值范围是.
B级 能力提升
1．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有( )
A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
解析：因为f′(x)－g′(x)＞0，所以 ′＞0，所以 f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，
所以 当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，
所以 f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．
答案：C
2．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________．
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜2是不等式f′(x)＜0的解，即－1，2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b＝－，c＝－6.
答案：－ －6
3．已知函数f(x)＝x2－ax－1＋ln x(x>0)．
(1)当a＝3时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在上是增函数，求a的取值范围．
解：(1)当a＝3时，f(x)＝x2－3x－1＋ln x，
所以f′(x)＝2x－3＋＝>0，
解得x<或x>1，
又因为x>0，所以f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)．
(2)若f(x)在上是增函数，则对任意x∈，f′(x)≥0恒成立，
所以f′(x)＝2x－a＋＝≥0等价于?x∈，2x2－ax＋1≥0恒成立，
等价于?x∈，a≤2x＋恒成立，
令g(x)＝2x＋，
所以g′(x)＝2－＝＝，
所以g(x)在上为减函数，a≤g(x)min＝g＝3.
课件34张PPT。第三章 导数及其应用