第三章 导数及其应用
3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，
f′(x)＜0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，
f′(x)＞0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，
f′(x)＞0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，
f′(x)＜0
解析：因为f(x)仅在x＝1处存在极小值，
所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.
答案：C
2．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A、B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，故选D.
答案：D
3．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为( )
A．0，1，－1 B.
C．－ D.，－
解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.
当x>时，f′(x)>0；当0
所以当x＝时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点，选B.
答案：B
4．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：f(x)＝＋ln x(x>0)，f′(x)＝－＋＝，当x>2时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；当0答案：D
5．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间内有极值点，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：因为函数f(x)＝－x2＋x＋1，
所以f′(x)＝x2－ax＋1.
若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间内有极值点，则f′(x)＝x2－ax＋1在区间内有零点．
由x2－ax＋1＝0，得a＝x＋.
因为x∈，y＝x＋在上递减，在(1，3)上递增，所以2≤a<.
又因为当a＝2时，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，不符合题意，所以a≠2.
答案：C
二、填空题
6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．
解析：f′(x)＝x2－6
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝，
所以f(x)极大值＝f(－)＝a＋4，
f(x)极小值＝f()＝a－4.
答案：a＋4，a－4.
7．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数y＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2答案：(－2，2)
8．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列四个命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，有极值；
③f(x)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)内是增函数；
④f(x)有极大值0，极小值－4.
其中正确命题的序号为________．
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；当x∈(0，2)时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－4.故③④正确．
答案：③④
三、解答题
9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解：(1)因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，
所以a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解得，a＝－，b＝－.
(2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x，
且其定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，
x＝2是函数f(x)的极大值点．
10．已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.
(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
当02时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
当01时，g′(x)>0.
所以x＝1是g(x)的最小值点．
故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
B级 能力提升
1．等差数列{an}中的a1，a4 031是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－1的极值点，则log2a2 016的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：因为f′(x)＝x2－8x＋6，且a1，a4 031是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－1的极值点，所以a1，a4 031是方程x2－8x＋6＝0的两个实数根，则a1＋a4 031＝8.而{an}为等差数列，所以a1＋a4 031＝2a2 016，即a2 016＝4，从而log2a2 016＝log24＝2.故选A.
答案：A
2．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2答案：(2，6)
3．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f′(x)
?↗
极大值
?↘
极小值
?↗
所以f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，
有f(x)＞0，x取足够小的负数时，
有f(x)＜0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个定点．
由(1)知f(x)最大值＝f＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
因为曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
所以f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，
即＋a＜0或a－1＞0，所以a＜－或a＞1，
所以当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
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