第三章 导数及其应用
3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值
解析：由极值与最值的区别知选D.
答案：D
2．函数f(x)＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D．10
解析：令f′(x)＝＝0(x>0)，解得x＝e.当x>e时，f′(x)<0；当00，所以f(x)极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以f(x)max＝e－1.
答案：A
3．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A. B．1 C．不存在 D．0
解析：f′(x)＝x－＝，且x>0，
令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0所以f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－ln 1＝.
答案：A
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．[0，1) B．(0，1)
C．(－1，1) D.
解析：因为f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，
又因为x∈(0，1)，所以 0＜a＜1.
答案：B
5．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
解析：令u(x)＝f(x)－g(x)，
则u′(x)＝f′(x)－g′(x)＜0，
所以 u(x)在[a，b]上为减函数，
所以 u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
答案：A
二、填空题
6．函数f(x)＝ln x－x在(0，e)上的最大值为________．
解析：f′(x)＝－1＝(x>0)，令f′(x)>0得01，所以f(x)在(0，1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．所以当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.
答案：－1
7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．
解析：由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝
±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝
－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.
答案：32
8．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝3x2－3x，
令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.
因为f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，
f(1)＝－＋a，所以 f(x)max＝a＝2.
所以 f(x)min＝－＋a＝－.
答案：－
三、解答题
9．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．
解：由f(x)＝＋2ln x，得f′(x)＝.又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.
所以实数a的取值范围是[e，＋∞)．
10．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x.
(1)若a＝0，证明：当－10时，f(x)>0；
(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a.
(1)证明：当a＝0时，f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x，
f′(x)＝ln(1＋x)－.
设函数g(x)＝f′(x)＝ln(1＋x)－，
则g′(x)＝.
当－10时，g′(x)>0，故当x>－1时，g(x)≥g(0)＝0，当且仅当x＝0时，g(x)＝0，从而f′(x)≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0.
所以f(x)在(－1，＋∞)单调递增．
又f(0)＝0，故当－10时，f(x)>0.
(2)解：(ⅰ)若a≥0，由(1)知，
当x>0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x>0＝f(0)，
这与x＝0是f(x)的极大值点矛盾．
(ⅱ)若a<0，
设函数h(x)＝＝ln(1＋x)－.
由于当|x|0，
故h(x)与f(x)符号相同．
又h(0)＝f(0)＝0，故x＝0是f(x)的极大值点，
当且仅当x＝0是h(x)的极大值点．
h′(x)＝－＝
.
若6a＋1>0，则当00，故x＝0不是h(x)的极大值点．
若6a＋1<0，则a2x2＋4ax＋6a＋1＝0存在根x1<0，
故当x∈(x1，0)，且|x|所以x＝0不是h(x)的极大值点．
若6a＋1＝0，则h′(x)＝，
则当x∈(－1，0)时，h′(x)>0；当x∈(0，1)时，h′(x)<0.
所以x＝0是h(x)的极大值点，从而x＝0是f(x)的极大值点．
综上，a＝－.
B级 能力提升
1．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|达到最小值时t的值为( )
A．1 B. C. D.
解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝
y＝t2－ln t(t＞0)．
y′＝2t－＝＝
.
当0＜t＜时，y′＜0，可知y在上单调递减；
当t＞时，y′＞0，可知y在上单调递增．
故当t＝时，|MN|有最小值．
答案：D
2．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)>0，解得x>；
令f′(x)<0，解得0所以当x＝时f(x)取得最小值－.
(2)依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞]上恒成立，
即不等式a≤ln x＋对于x∈[1，＋∞]恒成立．
令g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝，
当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)的最小值是g(1)＝1.
因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，
故a的取值范围为(－∞，1]．
3．设函数f(x)＝x－x2＋3ln x．证明：f(x)≤2x－2.
证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝－(舍去)．
当0＜x＜1时，g′(x)＞0，
当x＞1时，g′(x)＜0.
所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
所以 g(x)max＝g(1)＝0，
所以 f(x)－(2x－2)≤0.
所以 f(x)≤2x－2.
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