第三章 导数及其应用
3.4 生活中的优化问题举例
A级 基础巩固
一、选择题
1．炼油厂某分厂若要将原油精炼为汽油，则需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B. C．－1 D．－8
解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案：C
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为( )
A. B. C. D．2
解析：设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．
所以S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
答案：C
3．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁．要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为( )
A．16 m，16 m B．32 m，16 m
C．32 m，8 m D．16 m，8 m
解析：如图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m．因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，L′＝2－.
令L′＝0，解得x＝16或x＝－16(舍去)．
易得x＝16为极小值点．因为L在(0，＋∞)上只有一个极值点，所以它必是最小值点．当x＝16时，＝32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．
答案：B
4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝则总利润最大时，年产量是( )
A．100 B．150 C．200 D．300
解析：设年产量为x时，总利润为y，依题意，得
y＝
即y＝
所以y′＝
由y′＝0，得x＝300.
经验证，当x＝300时，总利润最大．
答案：D
5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为( )
A. cm B．100 cm
C．20 cm D. cm
解析：设高为x cm，则底面半径为 cm，
所以圆锥体积V＝π·(400－x2)·x
＝ (cm3)，
V′＝，
令V′＝0，得x＝或x＝(舍去)，
经判断可得x＝ (cm)时，V最大．
答案：A
二、填空题
6．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为________m时，容器的容积最大．
解析：设高为x m，则V＝x(x＋0.5)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0，1.6)，
所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令V′＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．
当00，当1所以当x＝1时，容器的容积取得最大值．
答案：1
7．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＞0)，所以y′＝2，
令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.
当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
答案：800
8．轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶，如果两船同时起航，那么经过________小时两船相距最近．
解析：设经过x小时两船相距y海里，y2＝36x2＋(75－12x)2，(y2)′＝72x－24(75－12x)，令(y2)′＝0，得x＝5，易知当x＝5时，y2取得最小值．
答案：5
三、解答题
9.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少(精确到0.001)时用料最少？
解：依题意，有xy＋·＝8，
所以y＝＝－(0于是框架用料长度为
l＝2x＋2y＋2·＝x＋.
l′＝＋－.
令l′＝0，即＋－＝0，
解得x1＝8－4，x2＝4－8(舍去)．
当0当8－40，
所以，当x＝8－4时，l取得最小值．
此时，x＝8－4≈2.343，y≈2.828.
即当x约为2.343，y约为2.828时，用料最省．
10．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s，
所以所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]．
(2)由题意知s，a，b，v均为正数．
令y′＝s＝0得v＝ ，v∈(0，c]．
①若 ≤c，则当v＝ 时，全程运输成本y最小；
②若 >c，则v∈(0，c]，
此时y′<0，
即y在(0，c]上为减函数．
所以当v＝c时，y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小，
当 ≤c时，行驶速度v＝ ；
当 >c时，行驶速度v＝c.
B级 能力提升
1．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大效益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4 C．0.024 3 D．0.048 6
解析：依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048 6kx2，其中x∈(0，0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0则y′＝0.097 2kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，
即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
答案：B
2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此，两项费用之和为y＝＋(x＞0)，
y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．
当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0.
因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
3．某公司生产某种产品的固定成本为20 000元，每生产1吨该产品需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)＝
其中x是该产品的月产量(单位：吨)．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，该公司所获利润最大？最大利润为多少元？
解：(1)f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f′(x)＝－x＋300，
当0≤x＜300时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x＞300时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；
所以 当x＝300时，f(x)取得极大值，也是最大值，且最大值为25 000.
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x，易知f(x)是减函数，
所以 f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000，
综上，当x＝300时，f(x)有最大值25 000.
即当月产量为300吨时，利润最大，最大利润为25 000元．
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