第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数y＝，当x由2变为1.5时，函数值y的增量为( )
A．1 B．2 C. D.
解析：Δy＝－＝－1＝.
答案：C
2．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2 C．3 D．－2
解析：根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.
答案：C
3．如果质点A的运动满足函数：s(t)＝－，则在t＝3秒时的瞬时速度为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：Δs＝s (3＋Δt)－s (3)＝－＋＝，＝，在t＝3秒时的瞬时速度为 ＝ ＝.
答案：D
4．函数f(x)在x0处可导，则 ( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
解析：因为f′(x0)＝ ，
所以 f′(x0)仅与x0有关，与h无关．
答案：B
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
解析：f′(0)＝ ＝ ＝
(Δx－3)＝－3.
答案：C
二、填空题
6．如图，函数f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
解析：函数f(x)在A，B两点间的平均变化率是＝＝＝－1.
答案：－1
7．设函数y＝x2＋2x在点x0处的导数等于3，则x0＝______．
解析：f′(x)＝ ＝
2x0＋2，又2x0＋2＝3，所以x0＝.
答案：
8．若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为－2，则
lim ＝________．
解析： ＝
－ ＝
－f′(x0)＝－×(－2)＝1.
答案：1
三、解答题
9．如图是函数y＝f(x)的图象．
(1)求函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率．
解：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
10．求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．
解：因为Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－
＝4Δx＋(Δx)2＋，
所以＝4＋Δx－，
所以y′|x＝2＝
＝
＝4＋0－＝.
B级 能力提升
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：＝＝a＋bΔx.
所以 f′(x0)＝ (a＋bΔx)＝a.
答案：C
2．函数y＝x2在x 0到x 0＋Δx(Δx>0)之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是________．
解析：k1＝＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx >0，k1－k 2＝2Δx.
所以k 1> k 2.
答案：k 1> k 2
3．若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s)．求：
(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；
(2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解：(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt＝2 s，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)因为从1 s到(1＋Δt)s的位移为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δt](m)，所以平均速度为＝＝(3Δt－12)(m/s)，则物体在t＝1 s时的瞬时速度为 ＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)．
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