第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题的逆命题为真命题的是( )
A．若xy≠0，则x，y不都为零
B．正多边形都相似
C．若m>0，则x2＋x－m＝0有实根
D．若x是无理数，则x－是有理数
解析：A中逆命题为“若x，y不都为零，则xy≠0”，假命题；B中逆命题为“相似的多边形都是正多边形”，假命题；C中逆命题为“若x2＋x－m＝0有实根，则m>0”，假命题；D中逆命题为“若x－是有理数，则x是无理数”，真命题．
答案：D
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a＋b＋c≥3，则a2＋b2＋c2＝3
解析：否定条件，得a＋b＋c≠3，否定结论，得a2＋b2＋c2＜3.所以否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3”．
答案：A
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除
解析：原命题与它的逆否命题是等价命题，原命题的逆否命题是：不能被3整除的整数，一定不能被6整除．
答案：B
4．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．以上都不正确
解析：设命题p为：“若s，则t”，则命题q为：“若t，则s”，命题r是：“若?t，则?s”，由此知q为r的否命题．
答案：B
5．有下列四种命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
③“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．
答案：B
二、填空题
6．命题“若x2<4，则－2解析：命题“若x2<4，则－2答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4 真
7．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．
解析：原命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”是真命题，且互为逆否命题等价，故其逆否命题为真命题．其逆命题“若△ABC是等腰三角形，则AB＝AC”是假命题，则否命题是假命题．则4个命题中有2个是真命题．
答案：2
8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆的内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系判断．
答案：②和④、③和⑥ ①和⑥、②和⑤ ①和③、④和⑤
三、解答题
9．写出命题“在△ABC中，若a＞b，则A＞B”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：在△ABC中，若A＞B，则a＞b为真命题．否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B为真命题．逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b为真命题．
10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集是R，则a＜”的逆否命题的真假．
解：先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.
所以a＜.所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．
B级 能力提升
1．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是m，则m是p的( )
A．原命题 B．逆命题
C．否命题 D．逆否命题
解析：设命题p为“若k，则l”，则命题q为“若l，则k”，从而命题m为“若非l，则非k”，即命题m是命题p的逆否命题．
答案：D
2．设有两个命题：①不等式mx2＋1＞0的解集是R；②函数f(x)＝logmx是减函数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：①当m＝0时，mx2＋1＝1＞0恒成立，解集为R.当m≠0时，若mx2＋1＞0的解集为R，必有m＞0. 综上知，不等式mx2＋1＞0的解集为R，必有m≥0.
②当0＜m＜1时，f(x)＝logm x是减函数，当两个命题中有且只有一个真命题时或
所以m＝0或m≥1.
答案：m＝0或m≥1
3．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若p，q一真一假，求m的取值范围．
解：当p为真时，即方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，设两个负根为x1，x2，则有
解得m>2.
当q为真时，即方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，则有16(m－2)2－4×4×1<0，解得1若p真，q假，则得m∈[3，＋∞)；
若p假，q真，则得m∈(1，2]．
综上所述，m的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．
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