第一章 常用逻辑用语
1.2 充分条件与必要条件
A级 基础巩固
一、选择题
1．“α＝π6”是“cos 2 α＝12”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由cos 2α＝12，可得α＝kπ±π6(k∈Z)，故选A.
答案：A
2．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；
若x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y.
所以x>y是x>|y|的必要而不充分条件．
答案：C
3．x2＜4的必要不充分条件是( )
A．0＜x≤2 B．－2＜x＜0
C．－2≤x≤2 D．1＜x＜3
解析：x2＜4即－2＜x＜2，因为－2＜x＜2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的必要不充分条件是－2≤x≤2.
答案：C
4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意知a?α，b?β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
5．设a，b，c是三条不同的直线，α是平面，则“a∥b”的一个充分不必要条件是( )
A．a∥c且b∥c
B．a∥α且b∥α
C．a，b与平面α所成的角相等
D．存在直线l，使得a∥l且b∥l
解析：由a∥c且b∥c，根据公理可得出a∥b，但a∥b时，未必有a∥c且b∥c，所以“a∥c且b∥c”是“a∥b”的充分不必要条件．选项B既不是充分条件也不是必要条件，选项C是必要不充分条件，D既是充分条件又是必要条件．请注意选项A与选项D的区别．
答案：A
二、填空题
6．设p：“x<3”，q：“－1解析：因为q?p，但p q，所以p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________．
解析：由题意知|2x－3|＞a恒成立．
因为|2x－3|≥0，所以 a＜0.
答案：a＜0
8．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“b－2是无理数”是“b是无理数”的充要条件；
③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；
④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．
其中真命题的序号是________．
解析：①中由“a＝b”可得ac＝bc，
但由“ac＝bc”得不到“a＝b”，所以不是充要条件；
②是真命题；
③中a＞b时，a2＞b2不一定成立，所以③是假命题；
④中由“a＜5”得不到“a＜3”，
但由“a＜3”可以得出“a＜5”，
所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，是真命题．
答案：②④
三、解答题
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：lg x2＝0，q：x＝1；
(2)p：b＝c，q：a?b＝a?c(a，b，c≠0)；
(3)已知α，β为锐角，p：sin α(4)p：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，q：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中b2－4ac>0.
解：(1)当x＝1时，lg x2＝0，q?p.当lg x2＝0时，即x2＝1，即x＝±1，p q，所以p是q的必要不充分条件．
(2)易知p?q，a?b＝a?c(a，b，c≠0)，即a?(b－c)＝0，可得b＝c或a⊥(b－c)，即q p，所以p是q的充分不必要条件．
(3)已知α，β为锐角，若α＋β<π2，则0<α<α＋β<π2.由正弦函数的单调性，得sin α(4)因为p?q，所以p是q的充要条件．
10．若“x0”的充分不必要条件，求m的取值范围．
解：由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1，由已知条件，知{x|x2或x<1}．
所以m≤1.
[B级 能力提升]
1．已知p：2x－1≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A.0，12 B.0，12
C．(－∞，0)∪12，＋∞ D．(－∞，0)∪12，＋∞
解析：令A＝{x|2x－1≤1}，得A＝x12≤x≤1.令B＝{x|(x－a)(x－a－1)≤0}，得B＝{x|a≤x≤a＋1}．若p是q的充分不必要条件，则A B，故a≤12，a＋1>1，或a<12，a＋1≥1，解得0≤a≤12，故选A.
答案：A
2．已知p：不等式x2＋2x＋m＞0的解集为R；q：指数函数f(x)＝m＋14x为增函数，则p是q成立的________条件．
解析：p：不等式x2＋2x＋m＞0的解集为R，
即Δ＝4－4m＜0，m＞1；q：指数函数f(x)＝m＋14x为增函数，即m＋14＞1，m＞34，则p是q成立的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若?p是?q的充分不必要条件．求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m＞0)?1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为?p是?q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1－m≤x≤1＋m x|－2≤x≤10，故有1－m≥－2，1＋m＜－10或1－m＞－2，1＋m≤10，
解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为m|0＜m≤3.
本题还可用以下方法求解．
因为p：－2≤x≤10，所以? p：x＜－2或x＞10.
q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m＞0)?1－m≤x≤1＋m(m＞0)，
? q：x＜1－m或x＞1＋m(m＞0)．因为? p是? q的充分不必要条件，所以
x|x＜－2或x＞10 x|x＜1－m或x＞1＋m，
故有1－m≥－2，1＋m＜10或1－m＞－2，1＋m≤10，
解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为m|0＜m≤3.
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