第一章 常用逻辑用语
1.4 全称量词与存在量词
A级 基础巩固
一、选择题
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以D是假命题．
答案：B
2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
解析：A中的命题是全称命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.
答案：D
3．命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x
C．?x0?R，x≠x0 D．? x0∈R，x＝x0
解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈R，x2≠x”的否定是“?x0∈R，x＝x0”．
答案：D
4．下列命题中是假命题的是( )
A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝1
C．? x∈R，x3>0 D．?x∈R，2x>0
解析：对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，? x∈R，2x>0，正确．
答案：C
5．若＜33x＋a2恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．0＜a＜1 B．a＞
C．0＜a＜ D．a＜
解析：由题意，得－x2＋2ax＜3x＋a2，即x2＋(3－2a)x＋a2＞0恒成立，所以Δ＝(3－2a)2－4a2＜0，解得a＞.
答案：B
二、填空题
6．已知命题p：? x>2，x3－8>0，那么? p是________．
解析：命题p为全称命题，其否定为特称命题，
则? p：?x>2，x3－8≤0.
答案：?x>2，x3－8≤0
7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③ ④
8．下面四个命题：
①?x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②?x0∈Q，x＝2；③?x0∈R，x＋1＝0；④?x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为________．
解析：x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，所以①为假命题．当且仅当x＝±时，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题．对?x∈R，x2＋1≠0，所以③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．
答案：0
三、解答题
9．判断下列各命题的真假，并写出命题的否定．
(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立；
(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0恒成立；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．
解：(1)方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，
则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a＞0恒成立，所以原命题为假命题．
它的否定：对任意实数a，不等式x2－(a＋1)x＋a＞0不恒成立．
(2)当x＝1时，|x＋2|＞0，所以原命题是假命题．
它的否定：存在实数x，使不等式|x＋2|＞0成立．
(3)由一元二次方程解的情况，知该命题为真命题．
它的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
10．对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：令y＝sin x＋cos x，
则y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
因为?x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
所以只要m<－即可，
所以所求m的取值范围是(－∞，－)．
B级 能力提升
1．已知命题p：? b∈[0，＋∞]，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞]上为增函数，命题q：?x0∈Z，使log2x0>0，则下列命题为真命题的是( )
A．(?p)∨(?q) B．(?p)∧(?q)
C．p∧(?q) D．p∨(?q)
解析：f(x)＝x2＋bx＋c＝＋c－，对称轴为x＝－≤0，
所以f(x)在[0，＋∞]上为增函数，命题p为真命题，? p为假命题，
令x0＝4∈Z，则log2x0＝2>0，所以命题q是真命题，
? q为假命题，p∨(?q)为真命题．故选D.
答案：D
2．已知命题“?x0∈R，2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得“对?x∈R，2x2＋(a－1)x＋＞0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a＜3.
答案：(－1，3)
3．若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解：①当m＋1＝0即m＝－1时，原不等式为2x－6<0，不恒成立．
②当m＋1≠0时，则?
?
解得m<－.
课件32张PPT。第一章 常用逻辑用语
