北师大版六年级数学上册 第六单元 1 生活中的比-详细教案

1　生活中的比
/
“生活中的比”是在学生已经学过分数的意义及分数与除法的关系的基础上学习的,是“比的认识”的起始课。比在数学中是一个重要的概念,体会比的意义和价值是教材内容的数学核心思想。由于学生理解比的意义往往比较困难,为了让学生明白什么是“比”,教材没有采取直接下定义的方法告诉学生什么是“比”,而是密切联系学生已有的生活和学习经验,设计了多个教学情境,引发学生讨论和思考。“图形的放大与缩小”通过学生对图片像与不像的直观感受,激发学生探索知识的兴趣,引导学生发现长方形的长与宽之间的倍数关系,引入比,体会引入比的必要性。“甘蔗汁与水”“树高和影长”“速度”“苹果价格”等多种现实背景,让学生体会生活中存在两个数量之间的“比”的关系,进一步理解比的意义以及比与现实生活的联系。同时,探索比与除法、分数之间的密切联系。
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1.经历从具体情境中抽象出比的过程,体会认识比的必要性,理解比的意义。
2.认识比的各部分名称,能正确读写比,会求比值。
3.理解比与除法、分数的关系,体会事物之间的联系。
4.能利用比的知识解释一些简单的实际问题,感受比在生活中的广泛存在。
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【重点】　理解比的意义,了解比的各部分名称。
【难点】　理解比的意义。
第/课时　生活中的比
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1.经历从具体情境中抽象出比的过程,体会认识比的必要性,理解比的意义。
2.掌握比的概念,结合具体例子理解比的数学意义,掌握比的读写方法、各部分名称,以及求比值。
3.借助实际情境,体会比的现实来源,感受数学知识与实际生活的密切联系;在实际操作和计算中,渗透数形结合的思想方法。
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【重点】　结合现实情境,理解比的意义,掌握比的概念及读写方法、各部分名称,会求比值。
【难点】　从具体情境中抽象出比的意义,区分比和比值。
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【教师准备】　PPT课件。
【学生准备】　准备附页中的图2。
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/
1.想一想,填一填。
8÷15=
(　　)
(　　)
4
9
=(　　)÷(　　)=
12
(　　)
6
(　　)
=2÷5=
12
(　　)
=(　　)
2.8颗糖平均分给4人,每人分得总数的
(　　)
(　　)
,3人分得总数的
(　　)
(　　)
,每颗糖是总数的
(　　)
(　　)
,3颗糖是总数的
(　　)
(　　)
。
【参考答案】　1.
8
15
　4　9　27　15　30　0.42.
1
4
　
3
4
　
1
8
　
3
8
/
方法一
1.课件导入。
PPT课件出示教材第69页主题图中的图片A。
师:同学们认识他吗?(淘气)今天老师给大家带来了一位“百变”淘气。
PPT课件循环播放教材第69页主题图中淘气的A~E五张图片。
师:同学们,看完了这些图片,你有什么感受?
学生自由谈谈自己的感受。(有的高些,有的矮些,有的胖,有的瘦)
2.引入新课。
师:这可真是一个“百变”的淘气!淘气的这些图片中蕴含了很有趣的数学知识,这节课我们就通过这些图片来学习生活中的比。
板书课题:生活中的比。
[设计意图]　从教材提供的情境入手,利用PPT课件展示高矮、胖瘦不同的淘气图片,让学生感觉到非常新奇,提高学生的学习兴趣。
方法二
1.谈话导入。
师:同学们,我们数学书中有几位可爱的人物,都是谁?(淘气、笑笑、智慧老人、机灵狗)在这几位中你最喜欢哪一个呢?
学生自由说一说。
师:一直以来“淘气”都是我们学习数学时的好伙伴,他不但人淘气,就连照的照片也很淘气,你看。
PPT课件出示教材第69页主题图中淘气的A~E五张图片。
师:你觉得这些照片中,哪两张比较像呢?
学生观察,猜测。
2.引入新课。
师:同学们猜测得是否正确呢?通过这节课的学习你就知道答案了!
板书课题:生活中的比。
[设计意图]　利用谈话的形式结合教材中给出的生活情境,让学生猜一猜,调动学生参与的热情。
/
一、认识引入比的必要性
1.引导观察,发现问题。
师:请同学们仔细观察这些图片,哪几张图片与图A比较像?能说一说理由吗?
预设 生1:图B和图D与图A比较像。
生2:图C变矮变胖了,图E变长变瘦了。
师:这5张图片可以怎样分类?
学生会根据“像不像”将图形分为两类:图A,B,D一类,图C,E一类。
师:想一想这些图片“像不像”与什么有关系呢?
学生会想到与图片的大小、长短、宽窄有关系。教师再次引导学生观察,并提问:这些图片是什么形状?能否从数学的角度找找原因?
预设 生1:这些图片都是长方形的。
生2:可能与长方形的长和宽有关系。
[设计意图]　通过让学生观察这5张图片像不像,激发学生主动思考并表达自己感受的欲望。根据感观和实际经验学生能够知道哪些图片像,哪些不像,进而教师提出用数学的方法去验证,培养学生用数学思维思考问题的意识。
2.合作探究,验证问题。
师:这些“像”和“不像”的两类图形,是否与长方形的长和宽有关系呢?同学们能想办法验证吗?
建议学生利用教材附页图2来验证,并提出要求:用自己喜欢的方法验证图形A与B,D像的原因,并说明图形A与图形C,E为什么不像,并把验证的过程记录下来。
学生合作交流,动手进行验证,教师巡视了解探究情况,并适时进行指导。
集体汇报,师生共同点评。
方法一:数方格。
预设 生1:我是用数方格的方法,图形A的长和宽分别是6个格和4个格,图形B的长和宽分别是3个格和2个格。长和宽都同时缩小了
1
2
,所以图片没有变形,与A很像。
生2:图形D的长和宽分别是12个格和8个格,与图形A相比同时扩大了2倍,所以图片也没有变形,与A很像。
生3:图形C的长和宽分别是8个格和3个格,与图形A相比不是同时扩大或缩小相同的倍数,使图片变形,所以不像了。
生4:图形E也是同样情况,图形E的长和宽分别是12个格和2个格,与图形A相比也不是同时扩大或缩小相同的倍数,使图片变形,所以不像了。
方法二:计算各图形之间长和宽的关系。
预设 生1:我是用计算的方法,用图形A的长和宽分别除以图形B的长和宽,6÷3=2,4÷2=2;用图形D的长和宽分别除以图形A的长和宽,12÷6=2,8÷4=2。我发现商都是2,所以图形A和图形B,D像。
生2:用图形A的长和宽分别除以图形C的长和宽,6÷8=
3
4
,4÷3=
4
3
;用图形A的长和宽分别除以图形E的长和宽,6÷12=0.5,4÷2=2。商不相同,所以图形A与图形C,E不像。
方法三:图形自身的长和宽与其他图形的关系。
生1:我发现图形A的长除以宽是6÷4=1.5,图形B的长除以宽是3÷2=1.5,它们的商是相同的。
生2:图形D的长除以宽是12÷8=1.5,商也与图形A长除以宽的商相同。因此图形A和图形B,D像。
生3:图形C的长除以宽是8÷3=
8
3
,图形E的长除以宽是12÷2=6,与图形A长除以宽的商不相同,所以不像。
[设计意图]　通过探索活动,让学生通过对一组长方形进行观察、计算、思考,探索长方形的长和宽之间存在的固定倍数关系,利用数形结合的方法,使学生初步获得“比”的一些体验。同时,借助图形分类,使学生体会引入“比”的必要性,进一步体会同类量比的意义。
3.总结验证,发现规律。
师:同学们,通过上面的验证,你发现了什么?
预设 生:我发现与图形A像的图形长和宽都是相同的倍数关系,不像的图形的长和宽之间倍数不同。
师:不错,下面请同学们观看动画,看图形A经过变化后能不能一眼就看出它们像还是不像。
出示PPT课件,让学生直观感受图形A怎样变就像,怎样变不像。
师总结:我们发现图形A,B,D中三个长方形的长都是宽的1.5倍,宽是长的
2
3
,变化后的图形就会和原来的图形像。也就是说图形是按一定的比进行放大或缩小的,这样放大或缩小后的图形与原来的图形虽然大小有变化,但不会变形。
[设计意图]　通过学生描述发现的规律和PPT课件演示,使学生通过直观的图形变化理解只要把长方形的长和宽同时扩大或缩小相同的倍数,它们就比较像。使学生既理解了本节课的内容,又为以后“化简比”的学习做了准备。
二、比的概念,比的各部分名称,读写比和求比值的方法
1.抽象出比的概念,认识比。
(1)引出比,初步感受比的数学意义。
师:观察黑板上这几个算式,有什么相同点?
预设 生:都是除法算式。
师:像除法算式这样表示两个数相除的关系,还可以用一个新的数学名词“比”来表示。
(2)比的读写以及各部分名称。
师:同学们,请自学教材第69页内容,说一说什么是比,关于比有哪些知识?
学生独立自学,先自己说一说,然后和同桌互相交流,互相补充。
集体汇报,共同评议。教师要引导学生按照比的写法、读法、各部分名称及比值的顺序进行汇报。
预设 生1:像刚才计算图形的长和宽那样,两个数相除,又叫作这两个数的比。
教师追问:两个数相除又叫作这两个数的比,你认为其中的关键词是什么?这说明什么呢?
生2:关键词是“相除”。这说明两个数的比只能表示两个数之间的相除关系。
生3:比的写法,比如6÷4写作6∶4,中间的两点叫作比号。
生4:比的读法是6∶4读作6比4。
生5:在比中,比号前面的数是比的前项,6是比的前项;比号后面的数是比的后项,4是比的后项。
生6:比有比值,6∶4的比值是1.5,6∶4=6÷4=
6
4
=1.5。
教师追问:刚才我们通过计算发现A,B,C,D,E这几个图片像与不像的原因是长、宽的大小变化,你能利用这几个图片写出几个比,并说一说它的读法、各部分名称和比值吗?
学生独立写出几个比,尝试计算比值,引导学生发现比值可以是小数、分数,也可以是整数。
[设计意图]　结合前面探究引入比的概念,使学生明确体会到比表示两个数的倍数关系,顺利将学生对比的认识从形象到抽象,能够从数学的角度认识比。
2.结合实际认识比。
师:我们认识了数学意义上的比,那么你能结合刚才我们计算的长方形图片A来说一说6∶4表示的含义吗?
教师引导学生说出:图形A的长和宽的比是6∶4,长是6个格,宽是4个格,长是宽的1.5倍。
师:生活中像这样的比还有很多,你能举例子并说说表示的含义吗?
预设 生1:图形C长和宽的比是8∶3,长是8个格,宽是3个格,长是宽的
8
3
倍。
生2:图形B 的长和宽的比是3∶2,长是3个格,宽是2个格,长是宽的1.5倍。
生3:我们班女生和男生人数的比是32∶21,女生是32人,男生是21人,女生人数是男生人数的
32
21
倍。
教师利用PPT课件出示下面资料,让学生说一说资料中的比表示的意义。
①标准的篮球场长和宽的比是 28∶15。
②人的脚长和身高的比约是 1∶7。
③地球上海洋面积和陆地面积的比是63∶27。
[设计意图]　让学生说一说在实际生活中见过的比,结合资料帮助学生巩固了比的有关知识,进一步理解比的意义,带给学生探究的热情。真正让学生体验到比在生活中的应用。
/
教材第70页第2题。
【参考答案】　2.长方形的长是4 cm,宽是3 cm,宽和长的比是3∶4。(答案不唯一)
/
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈汇报)
预设 生1:我学会了什么是比,比表示两个数相除。
生2:我会读、写比,并知道比号前面的数是比的前项,后面的数是比的后项。
生3:我还知道比值可以是分数,也可以是小数和整数。
生4:我明白了常见的图片变形了,是因为长和宽的比变了。
生5:在我们身边有很多事物是可以用比来表示的。
[设计意图]　通过小结能够帮助学生对本节课所学新知进行梳理和归纳,及时巩固本节课关于比的重点知识。同时,增强用所学知识解释生活中的问题的意识,体会到比与实际生活的联系。
/
作业1
教材第71页第7题。
/
生活中的比
/
/
/
比和现实生活是密不可分的,本节课体会比的意义及在生活中的应用是教材内容的核心。因此本节课教学中充分利用教材提供的资源“图形的放大和缩小”,真正达到帮助学生理解比的本质的目的。以图形的像或不像为主要教学素材,让学生在讨论中得出长与宽的关系,进而引入比的概念。这也是在同类量相比的情况下感悟比的概念,六年级的学生也具备了一定的阅读、理解和自学能力。因此在设计教学时,我有意识地去设计一些生活中具有趣味性、挑战性的问题让学生思考,然后让学生自学教材,从而得出比的概念及读写法,各部分的名称,比值等。还有放手让学生举例说说生活中哪些地方用到比的知识,使学生在丰富、有趣的学习情境中逐步体会比的意义和价值。
/
(1)由于时间关系,在列举生活中的比,进一步结合实际认识比的意义教学中,没有进行充分的举例训练,使部分学生只认识比,却说不清楚在实际问题中表示的意义。
(2)探究图形“像不像”的原因环节,学生采用比较“不同长方形间长和宽对应的关系”这种方法,由于图形比较多,部分学生计算比较乱,致使在汇报时,说不清楚是哪两个图形的长相除,或宽相除。
/
(1)注意合理分配教学时间,将课堂重心放在重难点的解决上,教师引导和提问要简练,对于学生已经能够表达清楚的知识,教师不必重复讲解,这样学生既觉得枯燥,又浪费课堂宝贵的时间。
(2)学生在探究图形A,B,C,D,E“像不像”的原因时,建议学生把图形A作为比较标准,用图形A的长和宽分别去除以其他图形的长和宽,并有顺序地写出每组算式;或利用列表的方式,把计算过程清晰地呈现出来。
/
/
/　求比值。
0.4∶1.3　　　
1
6
∶
1
2
[名师点拨]　根据求比值的方法,计算比值用比的前项除以比的后项,结果可以是分数,也可以是小数或整数。
[解答]　0.4∶1.3=0.4÷1.3=
4
13
1
6
∶
1
2
=
1
6
÷
1
2
=
1
3
/
比号的由来
在我国古代,人们很早就掌握了数的除法运算,自春秋战国时代之前,我国出现了用“九九”表计算乘法以后,人们也总结了用口诀来计算除法的方法。《孙子算经》上说:“凡除之法,与乘正异。”当时我国主要是用算筹和口诀来计算除法的。
我们现在用的除法符号“÷”是一位瑞士学者雷恩(1622~1676)于1659年在一本代数书中首先使用的。1668年,该书被译成英文出版,这个记号得以流行起来,直到现在,因此除号“÷”被称为雷恩记号。因为“÷”号在欧洲大陆曾长期被用来表示减法,为了与减法区别,后来一位德国数学家莱布尼兹(1646~1716)在他的一篇论文《组合的艺术》中首次用“∶”作除号,与当时流行的比号一致。后来也逐渐通用,现在世界有些国家如德国、俄罗斯等仍然用“∶”作除号。
黄金分割
两千多年前,古希腊数学家欧多克斯发现:如果将一条线段(AB)分割成大小两段(AP,PB),小段与大段的长度之比恰好等于大段的长度与全长之比,那么这一比值等于0.618…,这一点叫作黄金分割点,有趣的是,这个数字在自然界和人们生活中到处可见,有的人的肚脐是人体总长的黄金分割点,有的人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点,大多数门窗的宽与长之比也是0.618…,有些植物茎上,两相邻叶柄的夹角是137度28分,这恰好是把圆周分成0.381…∶0.618…的两条半径的夹角。据研究发现,这个角度对植物通风和采光效果最佳。
建筑师们对数字0.618…特别偏爱,无论是古埃及的金字塔,还是巴黎的圣母院,或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔,都有与0.618…有关的数据。人们还发现,一些名画、雕塑、摄影作品的主题大多在画面的0.618…处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618…处能使琴声更加柔和甜美。
第/课时　比在生活中的应用
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/
1.结合具体情境,体会两个同类量的比的含义,进一步理解比的意义,能利用比的意义解决一些简单的实际问题。
2.通过实际问题,体会两个不同类量的比的现实背景,能用自己的语言表达速度与单价的意义。
3.认识比与分数、除法之间的异同,会计算比值。
4.结合具体情境分析和解决问题,使学生感受到生活中处处有数学,激发学生学习数学的兴趣。
/
【重点】　理解比的现实意义,能利用比的意义解决简单的实际问题;认识比与分数、除法之间的异同。
【难点】　理解比在不同的现实情境中表示的意义。
/
【教师准备】　PPT课件。
【学生准备】　收集生活中有关比的数据。
/
/
1.想一想,填一填。
(1)10∶36读作(　　　　　)。
(2)在5∶8中,比的前项是(　　),比的后项是(　　)。
2.看图填一填。
/
根据这个长方形可以写出的比是(　　),比值是(　　),表示(　　　　)。
【参考答案】　1.(1)10比36　(2)5　8　2.7∶5　1.4　长是宽的1.4倍(答案不唯一)
/
方法一
1.复习导入。
师:上节课我们学习了一个新的数学知识,是什么?(比)你能举一个生活中有关比的例子吗?并说一说表示什么意义。
学生自由举例,教师要适当点评,给予鼓励。
2.引出课题。
师:生活中应用比的现象有很多,这节课我们继续认识生活中的比。
出示课题:比在生活中的应用。
[设计意图]　让学生列举生活中有关比的例子,结合实例回顾比的意义,教师进而提出继续认识生活中的比,简洁明了,有利于学生明确学习目标。
方法二
1.试验操作,激发兴趣。
师:同学们喜欢吃甜食吗?喜欢的请举手。(观察学生举手情况)这么多同学喜欢甜食,今天的数学课,老师请同学们品尝甘蔗水。
教师边操作,边解释:老师这里有两个同样大的杯子标有序号①和②,还有一个小器皿。注意观察,你发现了什么?
教师用小器皿装满甘蔗汁,向①号杯子中倒入1份甘蔗汁后,再倒入2份水;向②号杯子中倒入2份甘蔗汁后,再倒入4份水,搅拌均匀。
预设 生1:①号杯子中倒入1份甘蔗汁,②号杯子倒入2份甘蔗汁。
生2:①号杯子倒入2份水,②号杯子倒入4份水。
师:你觉得哪杯水比较甜?
预设 生1:我觉得②号杯子里的水比较甜,因为甘蔗汁多。
生2:我觉得一样甜,因为②号杯子虽然甘蔗汁多,但水也多。
师:想不想尝一尝呢?
请三名同学分别品尝两杯水,学生会辨别出两杯水甜度没有太大的差别。
2.引入新课。
师:不同份数的甘蔗汁勾兑出一样甜的水,你觉得这是什么原因呢?与我们学过的什么知识有关呢?(与比有关)
师:通过这节课的学习,相信你一定能够解释我们刚才的试验了。
板书课题:比在生活中的应用。
[设计意图]　课前做勾兑甘蔗水的试验,能够瞬间吸引学生的参与兴趣。通过观察、猜测和品尝,学生的思维层层推进,激发解决问题的欲望,调动学生的积极性。
/
一、比在生活中的应用
1.验证试验,体会比的意义。
师:在做甘蔗水试验时,有的同学说两杯甘蔗水一样甜与比的知识有关,真的是这样吗?我们能否验证呢?
PPT课件出示下面信息:
①号
②号
甘蔗汁
水
甘蔗汁∶水
比值
师:你能根据刚才的试验,填一填这个表格吗?再说一说甘蔗水一样甜的原因。
学生独立思考完成表格内容,然后和同桌互相说一说。
集体汇报,共同评议。随着学生的汇报利用PPT课件填充表格内容。
预设 生1:①号杯子里有1份甘蔗汁,2份水,甘蔗汁和水的比是1∶2,比值是0.5。
生2:②号杯子里有2份甘蔗汁,4份水,甘蔗汁和水的比是2∶4,比值是0.5。
此时,教师强调,同学们所说的“甘蔗汁和水的比”实际上是“甘蔗汁和水的体积比”,然后让学生重新表述以上汇报,补充完整。
生3:两杯中甘蔗汁和水的体积比都是1∶2,所以这两杯水一样甜。
[设计意图]　借助第一个主题图进行操作试验,让学生在观察中产生疑问,再用数学的方法解决问题。切实经历了用比表示实际问题的过程,为接下来理解比的意义做好铺垫。同时,以表格的形式呈现甘蔗汁和水的关系,培养学生有序思考的习惯。
2.认识同类量的比的意义。
PPT课件出示教材第70页问题1主题图。
(1)认识“甘蔗汁和水的体积比是1比2”表示的含义。
师:通过计算,同学们发现两杯甘蔗水中甘蔗汁和水的体积比都是1∶2,所以才一样甜。那么你能说一说“甘蔗汁和水的体积比是1比2”表示什么吗?
学生先自己说一说,然后和同桌互相说一说,教师巡视指导。
学生汇报,集体评议。
预设 生1:甘蔗汁和水的体积比是1比2,表示1份甘蔗汁2份水。
生2:还可以表示2份甘蔗汁4份水。
生3:甘蔗汁的体积是水的
1
2
。
生4:水的体积是甘蔗汁的2倍。
生5:水和甘蔗汁的体积比是2∶1。
师追问:甘蔗汁和水的体积比是1∶2,水和甘蔗汁的体积比是2∶1,这两个比一样吗?
教师引导学生发现:虽然都是甘蔗汁和水进行比较,但比的顺序不同,比的标准不同,所以这两个比是不同的。
(2)认识“树高和影长的比是6比3”表示的含义。
师:你能说一说第二幅图中比的含义吗?
预设 生1:树高和影长的比是6比3,表示树的高度是影长的2倍。
生2:还表示影长是树高的
1
2
。
生3:如果树高是6米,影长就是3米。
生4:还表示影长和树高的比是3∶6。
师追问:这棵树的高和它的影长比一定是6∶3吗?
结合观察物体单元的相关知识,引导学生发现,随着太阳高度的变化,树的影长也会变化,所以树高和影长的比6∶3表示某一时刻的比。
(3)师生小结。
师:同学们想一想,刚才我们分析的两个比,分别是什么之间的比?
学生经过思考后会发现1∶2是体积间的比,6∶3是长度之间的比。
教师小结:像这样表示体积间的比或长度之间的比,都是同类量之间的比,它们之间的比就是它们的倍数关系,所以比值不需要写单位名称。
[设计意图]　本环节给予学生充分交流和探讨的时间,在互相交流补充中,体会到问题1中两个比都表示两个量之间的倍数关系。由于学生思维方式不同,思考问题的角度便不尽相同,所以在汇报交流时,充分尊重学生的想法和表达方法,鼓励学生用自己的语言描述这两个比的意义。同时,教师对细节之处加以强调,使学生进一步理解同类量之间的比表示倍数关系。
3.认识不同类量的比的意义。
(1)比谁快。
师:在日常生活中对两种数量进行比较的例子很多,同学们请自学教材第70页问题2,完成第一个表格的内容。说一说你是怎样想的,应该怎样计算。
学生合作探究,交流自己的想法,教师巡视,对学习较困难的学生进行指导。
汇报交流,集体评议。
预设 生1:马拉松选手路程和时间的比是40∶2。
生2:速度=路程÷时间,马拉松选手的速度是40÷2=20千米/时。
生3:骑车人的路程与时间的比是45∶3。
生4:骑车人的速度是45÷3=15千米/时,所以马拉松选手的速度快。
师:你发现了什么?
预设 生:我发现路程与时间的比就是速度。如果计算速度,就是计算路程与时间的比。
(2)比价钱。
师:我们购物时要选择物美价廉的商品,看看A,B,C三种苹果,哪种苹果最便宜?你是怎样比较的?
学生独立完成,再和同桌说一说是怎样想的,教师巡视,了解学生交流情况。
集体汇报,师生共同点评。
预设 生1:要比较哪种苹果最便宜,就要比较它们的单价。
生2:单价=总价÷数量,A品种的苹果单价是9÷2=4.5元。
生3:B品种的苹果单价是15÷3=5元。
生4:C品种的苹果单价是12÷3=4元。
生5:C品种的苹果最便宜。
师:这三种苹果的总价和数量的比分别是什么?你发现了什么?
预设 生1:A品种苹果总价与数量的比是9∶2,B品种苹果总价和数量的比是15∶3,C品种苹果的总价与数量的比是12∶3。
生2:我发现总价与数量的比是单价。
(3)总结发现。
师:通过刚才的计算,你能用自己的话说一说对速度和单价的认识吗?
预设 生1:速度表示路程与时间的比。
生2:通过路程与时间的比值就可以比较谁的速度快。
生3:单价表示总价与数量的比。
生4:通过总价与数量的比值就可以知道哪种苹果最便宜。
教师小结:像路程与时间的比,总价与数量的比都是不同类量之间的比,比值是需要写单位名称的。
[设计意图]　本环节填写表格的目的是通过比较“速度”和“单价”,认识不同类量之间的关系。表格的内容学生根据已有的知识经验能够解决,但要引导学生说出是怎样想的,用比的意义发现速度是路程和时间的比,单价是总价和数量的比。认识到不同类量之间的比表示第三个量。
二、比与分数、除法的关系
1.探究比与分数、除法的关系。
师:想一想比与除法、分数之间到底有着怎样的关系?你能用比较清晰的方式整理它们之间的关系吗?
学生小组合作交流,教师巡视指导,适当提出整理建议。
学生分组汇报。
组1:我们小组通过举例子的方式说明比与除法、分数之间的关系。
比如,8∶10=8÷10=
8
10
=0.8,比的前项相当于被除数,也是分数中的分子,比的后项相当于除数,也是分母,比号相当于除号,也是分数中的分数线,比值是商,比值可以写成分数也可以写成小数。
组2:我们组采用列表的方法。
相当于
不同点
比
前项
比号
后项
比值
两个量之
间的关系
除法
被除数
除号
除数
商
运算
分数
分子
分数线
分母
分数值
数
　　2.用字母表示比与分数、除法的关系。
师:如果用字母a,b分别表示比的前项和后项,那么你能写出比和除法、分数之间的关系吗?
学生独立完成,教师巡视。然后选择存在共性错误和完全正确的学生到黑板板演,集体评议。
师板书:a∶b=a÷b=
??
??
。
师:同学们认为所有的数都适合这个关系吗?
学生经过小组合作讨论后会发现:在除法中,除数不能为0;在分数中,分母不能为0;在比中,比的后项也不能为0。因此,b≠0。
[设计意图]　让学生通过探究,找出比与分数、除法之间的异同,让学生明白数学知识之间有着密切的联系。在数学学习中,要善于找出这种联系,才能更好地掌握数学知识。
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1.教材第71页第3题。
2.教材第71页第4题。
【参考答案】　3.(1)120∶2　(2)72∶4
4.(1)22∶40　(2)12∶3　9∶3
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这节课你有什么收获和体会?(学生反馈汇报)
预设 生1:我学会了实际问题中比的含义。
生2:我知道像长度之间、体积之间的比,表示倍数关系,比值没有单位。
生3:像路程与时间这样的比是不同类量之间的关系,比值有单位。
生4:我清楚了比与除法、分数之间的关系。
生5:我觉得很多数学知识都是相互联系的,比如比与分数、除法之间就存在着联系。
生6:我感觉生活中有很多比的知识,学习比能解决很多问题。
[设计意图]　在介绍新课后,引导学生说一说收获和体会,对本节课学生的新知进行梳理和巩固,再次明确知识间的联系。同时,使学生体会到比在生活中的广泛应用,增强用数学知识解决实际问题的意识。
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作业1
教材第71页第5,6题。
【参考答案】
作业1:5.(1)1000∶500　(2)水∶白糖=500∶10　干酵母4汤匙∶白糖=10∶10(答案不唯一)　6.1∶3　
1
3
　1.5∶3　0.5
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比在生活中的应用
甘蔗汁和水的体积比是1∶2
树高和影长的比是6∶3
同类量的比表示倍数关系,比值没有单位
路程与时间的比:速度=路程÷时间
总价与数量的比:单价=总价÷数量
不同类量的比表示数量关系,比值有单位
比与分数、除法的关系:
相当于
不同点
比
前项
比号
后项
比值
两个量之
间的关系
除法
被除数
除号
除数
商
运算
分数
分子
分数线
分母
分数值
数
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本节课的成功之处在于对教材内容的把握处理得当,突出了教学重点,突破了教学难点,学生对所学内容掌握比较扎实。授课过程中有全员意识,力争照顾到每一个学生,精心设计引导问题,而且有难有易,就连班中的学困生也能积极回答问题而且准确率很高。整节课学生都能积极参与到学习之中,课堂气氛也非常融洽。同时,注重培养学生独立自主的学习能力。学生之间的合作探究,往往能够碰撞出智慧的火花,探究出多种解决问题的方法。在教学比和除法、分数的关系时,考虑到学生已经掌握了比的意义,以及除法、分数的相关知识,所以在教学过程中充分放手让学生自己通过合作交流,比较、分析、归纳,呈现了多种比较方式,如列表法、举例法等。不但成功解决了问题,而且在探究过程中培养了合作意识,懂得取长补短,不断完善自己,锻炼采用多种策略解决问题的能力。
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(1)学生采用列表法呈现比和分数、除法的关系时,由于思考方式不同,表格中所列项目也不完全相同。在展示时,出现了多种列表方式,由于时间关系没有一一进行指导,也没有给予评价,学生不能判断自己总结得是否全面。
(2)对教材挖掘不深,仅就本节课所学知识设计问题,没有进行相应的拓展。各知识点的衔接不自然,没有形成知识体系。
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(1)在探究比和分数、除法的关系教学中,教师要注意巡视,了解学生列表情况,展示用列表法表示三者之间的联系和区别时,先选取设计合理、总结全面的表格进行展示,然后让学生对照自己所列表格改正补充,全面比较比、分数、除法的关系。
(2)仔细钻研教材,立足教材的目标要求,精心设计教学思路,注重各知识点间的联系,由浅入深,逐步展开教学。同时,对教材知识点进行适当延伸,让学生在牢固掌握基础知识的同时,得到思维训练,拓展知识的广度和深度,培养灵活运用所学知识解决问题的能力。
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/　甲数是乙数的1.5倍,甲数与乙数的比是多少?乙数与甲数的比是多少?
[名师点拨]　甲数=1.5×乙数?甲数=
3
2
×乙数?甲数∶乙数=
3
2
×乙数
∶乙数=
3
2
=3∶2;反之,乙数∶甲数=2∶3。
[解答]　甲数与乙数的比是3∶2,乙数与甲数的比是2∶3。
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奇妙的比
张扬和李明在争论一个问题。张扬说:“比的后项不能是0,可是,前几天中国女排还以3∶0的成绩战胜了美国女排。这里比的后项就是0,为什么呢?”
李明笑了:“比赛中的3∶0与表示倍数关系的比是两码事,虽然读法、写法都是一样的,可它们的意义不相同。表示倍数关系的比,也可以表述为两个数相除,因为除数是0没有意义,所以比的后项不能是0。而比赛中记录的3∶0不表示两个队得分的倍数关系,只表示比赛双方所赢局数的多少。3∶0表示这场比赛中国队胜了3局,而美国队一局也没有胜。”
张扬佩服地点点头。