北师大版六年级数学上册 第六单元 2 比的化简-详细教案

2　比的化简
“比的化简”是在学生初步理解了比的意义,了解比与分数、除法之间的关系的基础上,进一步加深对比的意义的理解,学会化简比的方法。为了有利于学生探索化简比的方法,教材设计了从具体到抽象的数学化的三个活动。首先联系实际创设了“调制蜂蜜水”的活动,让学生在解决“哪一杯更甜”这个问题的过程中,加深对“比”的意义的理解,进一步感受比、除法、分数之间的关系,体会化简比的必要性,学会化简比的方法。教材并没有给出比的基本性质(比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数,比值不变),是因为利用商不变的性质或分数的基本性质完全可以进行比的化简,也能推出比的基本性质,所以不加重学生的记忆负担。但是我们在实际教学中,可以根据实际情况,引导学生发现比的基本性质,并运用自己的语言加以描述,但不作为基本要求。最后,教材提供化简比的计算,让学生经历化简比的过程,总结化简比的步骤与根据。教师在教学过程中要注意化简比与求比值的区别与联系,借助知识的迁移帮助学生顺利理解并掌握新知。
1.在实际情境中,体会化简比的必要性,进一步体会比的意义。
2.在观察、比较中理解什么是化简比,会运用商不变的性质或分数的基本性质化简比,并能解决一些简单的实际问题。
3.在化简比的同时感受数学的应用价值,体会数学知识的内在联系。
4.通过对问题的探究,培养学生自主探索问题的能力、发散性思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力。
【重点】　会运用商不变的性质或分数的基本性质化简比。
【难点】　根据比的基本性质解决生活中的一些实际问题。
【教师准备】　PPT课件。
【学生准备】　蜂蜜、水、量杯、水杯等。
1.化简下面各分数。
3234　　　　1530　　　816　　　2156
2.想一想,填一填。
5∶6=(　　)÷(　　)=(　　)
25=2×35×(　　)=(　　)(　　)
8÷12=16÷(　　)=(　　)(　　)
【参考答案】　1.1617　12　12　38　2.5÷6=56　3　615　24　1624
方法一
1.情境引入。
师:同学们已经发现今天讲台上多了两个杯子,这是老师课前分别调制好的两杯蜂蜜水。你现在能判断出哪杯蜂蜜水更甜吗?你们需要老师提供什么信息?
根据学生回答出示数据信息:
　　　　蜂蜜　　　　 　水　　
(1)号杯:3小杯　　　　 12小杯
(2)号杯:4小杯　　　　 16小杯
师:你获得了什么信息?联系最近我们所学的知识,你想到了什么?
随学生回答板书: 　　
　　　　　　　　　　　　蜂蜜与水的比
(1)号杯　　　　　　　3∶12　
(2)号杯　　　　　　　4∶16
2.引入新课。
师:通过这些信息你知道哪杯蜂蜜水更甜吗?怎样判断?接下来我们一起探究这个问题。
板书课题:比的化简。
[设计意图]　在前面的学习中,学生已经有调制“甘蔗水”的经历,因此当教师出示调制好的蜂蜜水,让学生谈谈为判断哪杯蜂蜜水更甜,需要老师提供哪些信息,学生自然会想到比的知识,顺利进入新课的学习。
方法二
1.复习导入。
师:同学们刚才在做复习准备中的几道题时表现都很好,这些题目中包含了约分、比、比值的计算方法、分数的基本性质、商不变的性质。你能说一说怎样约分,怎样计算比值吗?
学生可以结合课前问题来描述,也可以用自己的话归纳。
2.我们知道比与分数有密切的联系,既然分数能够化简,那么比是否也可以化简呢?这节课我们就来研究比的化简。
板书课题:比的化简。
[设计意图]　比的化简是在学生已经学习了分数的基本性质、商不变的性质以及比、分数与除法的关系的基础上进行学习的,通过复习这部分知识有利于对新课的认知,感受数学知识的内在联系。
一、比的基本性质
1.体会化简比的必要性。
(1)探究判断方法。
PPT课件出示教材第72页主题图,提出问题:哪杯蜂蜜水更甜?你能判断出来了吗?
学生先独立思考,再和同桌交流,教师巡视指导。
全班交流判断方法与依据。
预设 生1:哪杯水更甜与蜂蜜和水的比有关系,所以要先知道两杯水中蜂蜜和水的比。
生2:第1杯蜂蜜和水的比是3∶12,第2杯蜂蜜和水的比是4∶16。
(2)探究比较方法。
师:通过这两个比,现在能判断出来吗?又遇到了什么问题?
引导学生发现两个比不同无法比较。
师:请同学们想想办法,能不能将这两个比像分数化成最简分数一样,把比也化简呢?
学生小组合作探究,交流想法,教师巡视。
学生汇报,并说明理由。
预设 生1:比较哪杯水更甜,实际就是比较平均1小杯蜂蜜用了几小杯水。第一杯用3小杯蜂蜜,12小杯水,所以1小杯蜂蜜用了4小杯水,蜂蜜和水的比是1∶4。第二杯用4小杯蜂蜜,16小杯水,所以1小杯蜂蜜也用了4小杯水,蜂蜜和水的比也是1∶4。所以两杯水一样甜。
生2:我是计算出了这两个比的比值。3∶12=312=14,4∶16=416=14,比值都是14,所以两杯水一样甜。
在交流过程中教师要引导学生理解把比转化成分数后,利用分数的基本性质化简,再转化成比的方法。
得出结论:3∶12=312=14=1∶4
4∶16=416=14=1∶4
(3)观察对比,发现规律。
师:同学们认真观察,原来的比与转化后的比有什么相同点和不同点?
引导学生发现,它们的比值相等,只是后面的比更简单。
教师总结:像这样,在不改变比值大小的情况下,将比化成最简单的整数比,这种计算叫作比的化简。有时比的前项和后项数值比较大,会给判断带来不便,这时就需要化简比。
[设计意图]　让学生通过解决“判断哪一杯水更甜”的问题,加深对比的意义的理解,感受化简比的必要性,从中感知什么叫化简比。
2.写相等的比。
师:同学们现在能说一说这两杯水一样甜的原因吗?
学生会很容易说出:两杯水的蜂蜜和水的比相等。
师:在比的学习中,我们经常会遇到相等的比,你看笑笑就写出了两个相等的比。
(1)理解比相等的原因。
PPT课件出示教材第72页问题2。
师:你能说一说笑笑是怎么写出相等的比的吗?
学生小组合作探究,试着写一写,说一说,教师巡视指导。
集体汇报,教师点评。
预设 生1:把1∶2的前项和后项都乘10,得到10∶20。
生2:把4∶12的前项和后项都除以4,得到1∶3。
(2)独立写出相等的比。
师:你能像笑笑一样写出相等的比吗?说一说你是怎样写出来的。
学生独立书写,教师巡视,了解学生书写情况,对有困难的学生进行适当指导。
反馈汇报:先请书写正确的学生进行汇报,并说一说是怎样写出来的,使学生再次明确写相等比的要求;然后请书写有错误的学生汇报,并说一说书写的依据,让其他学生共同判断,找出错误的原因。
(3)反思书写过程,总结发现。
师:认真观察笑笑写的相等的比,再结合你写出的相等的比,你联想到了我们学过的哪些知识?
学生小组交流,互相观察组内同学写出的比,尝试用自己写相等比的方法来叙述过程,互相说一说自己的发现。
预设 生1:我发现把比的前项和后项同时乘或除以相同的数,就能写出相等的比。
生2:我想到了分数的基本性质,写相等的比的过程与分数的基本性质是相同的。
生3:与除法中商不变的规律也是相同的。
教师追问:分数的基本性质和除法商不变的规律是什么?对乘或除以的这个数有什么特殊的要求?
学生回顾分数的基本性质和除法商不变的规律,并强调乘或除以的数不能为0。
师:刚才同学们写相等的比用的方法,我们可以说是运用了比的基本性质,那么你能说一说比的基本性质是什么吗?
学生用自己的话归纳比的基本性质。
教师根据学生发言小结:比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数,比值的大小不变,这叫作比的基本性质。
[设计意图]　让学生通过探究写相等的比的过程,结合分数基本性质、除法中商不变的规律,自我发现、归纳比的基本性质,培养了分析问题和发现规律的能力。
二、比的化简方法
1.探究化简比的方法。
师:同学们还记得怎样把分数约分成最简分数吗?
学生回顾约分方法:分子和分母同时除以不为0的数,使分子和分母除了公因数1,再没有别的公因数了。
师:想一想,比也可以化简吗?什么样的比可以化简?
PPT课件出示教材第72页问题3。
师:这些比哪一个可以化简?怎样化简?
预设 生1:第一个比中前项和后项有公因数,可以化简。
生2:第二个比是分数比,第三个比是小数比,不能化简。
(1)探究化简整数比的方法。
让学生独立化简,教师巡视,对有困难的学生进行适当指导。
汇报交流化简方法,集体评议。
化简方法预设:
方法一:改写成分数再化简。
24∶42
=2442
=47
=4∶7
方法二:改写成除法再化简。
24∶42
=24÷42
=(24÷6)÷(42÷6)
=4÷7
=4∶7
方法三:利用比的基本性质化简。
24∶42
=(24÷6)∶(42÷6)
=4∶7
师:无论采用哪种化简方法,我们最后得出的比都是4∶7。同学们观察一下,4∶7还能再化简吗?
学生通过观察会发现,4和7除了公因数1没有别的公因数了,所以不能再化简了。
教师小结:像这样,比的前项和后项只有公因数1,再没有别的公因数了,这样的比就是最简整数比。我们化简比要把比都化成最简整数比。
(2)探究分数比、小数比的化简方法。
师:刚才有的同学说25∶14和0.7∶0.8是分数比和小数比,不能化简了,现在想一想,能不能化简?
学生小组合作探究化简方法,教师巡视,进行适当指导。
选派个别学生到黑板板演,其他学生观察,与自己的化简方法进行对照,再请采用其他化简方法的学生到黑板板演。
汇报预设:
　25∶14=25×20∶14×20=8∶5　　25∶14=25÷14=25×4=85=8∶5
　0.7∶0.8=(0.7×10)∶(0.8×10)=7∶8　　　0.7∶0.8=0.7÷0.8=7÷8=7∶8
(3)化简方法小结。
师:同学们对比我们化简的三个比,你发现了什么?
学生思考后回答:这三个比分别是整数比、分数比和小数比。
师:那么你能说一说对于这三种比可以怎样化简吗?
预设 生1:化简整数比可以把比改写成分数或除法再化简,也可以利用比的基本性质化简。
生2:化简分数比,可以把比写成除法或利用比的基本性质化简。
生3:化简小数比,也可以把比写成除法或利用比的基本性质化简。
生4:我发现化简这三种比都可以用比的基本性质化简。
教师小结:化简比可以先把比改写成除法或分数,利用商不变的规律和分数基本性质化简,也可以直接利用比的基本性质化简。
[设计意图]　通过小组讨论解决问题,既让学生感受到化简比的三种类型:整数比、小数比和分数比之间化简方法的异同,又让学生在寻找不同题目的解决方法中发现共性的化简方法,发挥小组合作的作用。
2.比较化简比和求比值的关系。
师:在刚认识比时,我们学习了计算比值的方法,同学们试试,下面的比怎样计算比值?再想一想,计算比值与化简比一样吗?
PPT课件出示:请你求出下面比的比值:8∶16。
学生独立求出比值后,和小组内的同学讨论求比值和化简比的区别和联系。
集体汇报,共同交流。
预设 生1:比值是比的前项除以后项得出的商,化简比是把比化成最简单的整数比。
生2:化简比和求比值都可以把比写成除法,再化简或计算。
生3:比值可以是分数也可以是小数、整数,但不能是比;化简比的结果仍然是比,可以写成分数,不能写成小数或整数。
教师小结:求比值是一种除法运算,结果是一个数,可以是分数也可以是小数、整数。但化简后的比仍然表示两个数的关系,所以结果要写成比或分数的形式,此时的分数也表示比。
[设计意图]　通过比较化简比和求比值的异同,使学生在学会知识的同时,体会新旧知识之间的联系,养成联想的思维习惯和多角度思考问题的习惯。
1.教材第73页第1题。
2.教材第73页第2题。
【参考答案】　　1.(1)30∶60　(2)10∶20　(3)10∶50　(4)30∶150　(1)和(2)同样甜　(3)和(4)同样甜
2.　　
这节课我们一起探究了什么问题?你有什么收获?(学生反馈汇报)
预设 生1:我们一起学习了化简比的方法。
生2:我觉得化简比可以使比更简单,容易比较。
生3:我知道化简比可以有多种方法,要根据比的特点确定采用什么方法。
生4:我知道了分数比和小数比也可以化成整数比,化简比后的结果应该是最简整数比。
生5:我知道生活中饮料甜还是不甜,与糖和水的比有关系。
[设计意图]　通过课堂小结使学生回顾本节课探究的主要问题,再次体会到化简比的必要性及要灵活选择不同方法化简比,并体会到生活中很多常见的现象,可以用比的知识来解决,感受数学与生活的联系。
作业1
教材第73页第3,4题。
【参考答案】
作业1:3.(从左到右、从上到下)10∶125　2∶25　6∶50　3∶25　6.4∶400　2∶125　4.(1)9∶10　910　(2)13∶20　1320　(3)不马虎投球的命中率高些。
比的化简
这节课的成功之处体现在以下两个方面:一是充分体现以学生为主。教学设计中,遵循以学生为主体的原则,教师提出有价值的问题进行适当引导,让学生通过观察、合作、探究的方式解决问题。在探究“写出相等的比”的过程中,先让学生观察,再和小组同学交流,发现笑笑写相等的比的方法,然后独立尝试写相等的比。在经历写相等的比的过程中,引发学生思考除法有“商不变性质”,分数有“分数基本性质”,比是否也存在“比的基本性质”。教师顺从学生的思维规律,鼓励他们大胆猜想,通过自身举例、论证,最后得出了“比的基本性质”。二是以教材提供的素材为主,适当加以拓展。课前以学生喜欢的调制蜂蜜水为情境引入新课,激发学生的参与热情。新课探究以认识化简比、怎样化简比的顺序,由浅入深,逐步引导学生进行交流。教材没有明确提出“比的基本性质”和“比较化简比和求比值的异同”,授课过程中结合具体环节自然引出,培养学生比较、归纳、总结的能力。
(1)练习的形式比较单一,仅就教材知识点加以练习,没有拓展和提高。
(2)由于化简比有多种方法,学生在探究和汇报时占用了很多时间,使后面的练习时间略显紧张,没有给所有学生反馈的机会,不能全面了解学生掌握情况。
(1)练习层次鲜明,层层递进。遵从学生的认知规律,安排模仿练习(化简整数比、小数比、分数比)、提高练习(化简整数和分数比、分数和小数比)、综合练习,以全面提高学生应用所学知识的能力。
(2)学生汇报化简方法时,可以将分数比和小数比同时汇报,分组到黑板板演,然后让学生观察比较,归纳化简方法。
　小明和小亮的身高之比是5∶4,小亮和小丽的身高之比是6∶7,那么小明和小丽的身高之比是多少?
[名师点拨]　从已知条件看,小明的身高与小丽的身高无直接关系,但都与小亮的身高有关,且小亮的身高在两个比中所占的份数分别是4和6,把4和6转化成一个数,即4和6的最小公倍数12,那么小明和小亮的身高之比是(5×3)∶(4×3)=15∶12,小亮与小丽的身高之比是(6×2)∶(7×2)=12∶14,这样转化后,小明和小丽的身高之比就可求了。
[解答]　因为(5×3)∶(4×3)=15∶12, (6×2)∶(7×2)=12∶14,所以小明和小丽的身高之比是15∶14。
奇妙的8比11
人们都见过稻麦一类的农作物,在快要收割的时候,它们顶着沉甸甸的穗子,支持着饱满穗子的却是一根空心的茎。为什么一根空心的茎会有这样大的能耐呢?
科学家根据材料力学的理论推算:一根空心管子的内径和外径之比如果是8∶11的话,最不容易弯曲。生物界在进化过程中为了求得生存,动物的骨、植物的茎等都选择空心,而且不论粗细如何,内径和外径之比大约都是8∶11,这不是奇妙的巧合,而是大自然优胜劣汰的结果。科学家就利用这个数据,为人类造福。例如水泥制成的空心电线杆、自行车的车身架,都是利用这个数据,以达到耗费最少的材料而获得最强的坚固性的目的。