第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列推理是归纳推理的是( )
A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．
答案：B
2．已知 ＝2， ＝3， ＝
4，….若＝6(a，b∈R)，则( )
A．a＝5，b＝24 B．a＝6，b＝24
C．a＝6，b＝35 D．a＝5，b＝35
解析：观察式子的特点可知，分式的分子a与根号外的数相同，而分母b则为a的平方减1.
答案：C
3．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则等于( )
A．4 B.
C．2 D.
解析：将已知式变形，则有＝＝
＝tan ＝tan，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝，可知只有当＝tan ＝时，上式成立．
答案：D
4．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值( )
A．一定是零 B．不一定是偶数
C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数
解析：当n为偶数时，(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；
当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，(n2－1)[1－(－1)n]＝(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．
所以(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．
答案：C
5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈N*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.
按此规律推断出Sn与n的关系式为( )
A．Sn＝2n B．Sn＝4n
C．Sn＝2n D．Sn＝4n－4
解析：由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推断第n个图案是这样构成的；各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为Sn＝4n－4.
答案：D
二、填空题
6．已知x∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，…，类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________．
解析：由类比推理可得x＋＝＋…＋,sup6(,n个))＋≥(n＋1)·＝n＋1，此时a＝nn.
答案：nn
7．在平面几何中有如下结论：
若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________．
解析：正三角形内切圆半径与外接圆半径之比为1∶2，故面积之比为1∶4，正四面体中，内切球半径与外接球半径之比为1∶3，故体积之比为1∶27.
答案：
8．观察下列各式：
①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(ex－e－x)′＝ex＋e－x；④(xcos x)′＝cos x－xsin x.
根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．
解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝ex－e－x为奇函数，p′(x)＝ex＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝xcos x为奇函数，q′(x)＝cos x－xsin x为偶函数．
归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．
答案：奇函数的导函数是偶函数
三、解答题
9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数．
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式．
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义．
(4)已知an＝9 900，问：an是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，…，
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，
所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.
(3)a10＝11×12＝132.
a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，
则an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
B级 能力提升
1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
答案：C
2．若Sn是等差数列{an}的前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an，类似地，若Tn是等比数列{bn}的前n项积，则有T2n－1＝________.
解析：T2n－1＝b1·b2·b3·…·b2n－1＝(b1·b2n－1)·(b2·b2n－2)·…·bn＝b.
答案：b
3．观察下列等式：
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：由①②知，两角相差30°，运算结果为，
猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
证明：左边＝＋＋sin αcos(α＋30°)
＝1－＋＋
sin α
＝1－cos 2α＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α－
＝＝右边
故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
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