第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
A级 基础巩固
一、选择题
1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．没有错误
解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．
答案：A
2．指数函数都是增函数，大前提
函数y＝是指数函数，小前提
所以函数y＝是增函数．结论
上述推理错误的原因是( )
A．大前提不正确 B．小前提不正确
C．推理形式不正确 D．大、小前提都不正确
解析：大前提错误．因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在a>1时是增函数，而在0
答案：A
3．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：根据“三段论”特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数．所以①④正确．
答案：A
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是( )
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：当a2＞b2＋c2，则cos A＝＜0，
又A∈(0，π)知A为钝角．
答案：C
5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )
A．bf(a)＜af(b) B．af(a)＞bf(b)
C．af(a)＜f(b) D．bf(b)＜f(a)
解析：构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．
若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞ bf(b)．
答案：B
二、填空题
6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．
答案：小前提
7．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________．
解析：要使函数有意义，则log2x－2≥0，解得x≥4，所以函数y＝的定义域是[4，＋∞)．
答案：函数y＝的定义域是[4，＋∞)
8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°
②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
④在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式．
解析：①为演绎推理，②为类比推理，③④为归纳推理．
答案：①
三、解答题
9．已知在梯形ABCD中(如图)，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：因为AD＝DC，
所以△ADC是等腰三角形，∠1和∠2为两底角，
所以∠1＝∠2，
在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以∠1＝∠3，从而∠2＝∠3，
所以AC平分∠BCD.
同理可证BD平分∠CBA.
10．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；(2)求函数f(x)的单调增区间．
解：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin＝±1.∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意，得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋≤x≤＋kπ，k∈Z.
故函数f(x)的增区间为，k∈Z.
B级 能力提升
1．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
解析：若f′(x0)，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．
答案：A
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的周期是________．
解析：f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(2－2－x)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋8)＝f[4＋(4＋x)]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)．
所以T＝8是它的周期．
答案：8
3．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
证明：如图，作AE⊥SB于E.
因为平面SAB⊥平面SBC，
平面SAB∩平面SBC＝SB，
AE?平面SAB.
所以AE⊥平面SBC.
又BC?平面SBC.
所以AE⊥BC.又因为SA⊥平面ABC，
所以SA⊥BC.
因为SA ∩AE＝A，SA?平面SAB，AE?平面SAB，
所以BC⊥平面SAB.
因为AB?平面SAB，所以AB⊥BC.
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