第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
第1课 时综合法
A级 基础巩固
一、选择题
1．若“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中，至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中正确判断的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因“a，b，c是不全相等的正数”，
则“a≠c，b≠c，a≠b”可能同时成立．
所以③不正确，①，②正确．
答案：C
2．已知函数f(x)＝lg ，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b C. D．－
解析：函数f(x)的定义域为{x|－1答案：B
3．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．与n取值有关
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5
又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1适合上式．
∴an＝4n－5(n∈N*)，则an－an－1＝4(常数)
故数列{an}是等差数列．
答案：B
4．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D.<
解析：在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
答案：B
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：由于bcos C＋ccos B＝asin A，
所以asin A＝a，从而sin A＝1.
由A∈(0，π)，得A＝，
所以△ABC为直角三角形．
答案：B
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．
解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．
答案：综合法
7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．
解析：在△ABC中，A>B?a>b
由正弦定理＝，从而sin A>sin B.
因此A>B?a>b?sin A>sin B，为充要条件．
答案：充要
8．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．
解析：因为p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，
又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，
所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.
答案：p>q
三、解答题
9．已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明：法一 因为a，b是正数，且a＋b＝1，
所以a＋b≥2，所以≤，
所以＋＝＝≥4.
当且仅当a＝b时，取“＝”号．
法二 因为a，b是正数，所以a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
所以(a＋b)≥4.又a＋b＝1，所以＋≥4.
当且仅当a＝b时，取“＝”号．
法三 ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f为偶函数．
证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称．
∴f(x＋1)＝f(－x)
则y＝f(x)的图象关于x＝对称
∴－＝，∴a＝－b.
则f(x)＝ax2－ax＋c＝a＋c－
∴f＝ax2＋c－为偶函数．
B级 能力提升
1．不相等的三个数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列，而非等差数列
B．成等差数列，而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
解析：由题设得
由②得a＝，由③得c＝，
代入①得＋＝2b，
所以x2＋y2＝2b2，
故x2，b2，y2成等差数列．
答案：B
2．若不等式(－1)na＜2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当n为偶数时，则a＜2－恒成立，
所以a＜2－＝.①
当n为奇数时，则a＞－2－恒成立．
又－2－＜－2，因此a≥－2.②
由①②知，－2≤a＜.
答案：
3．(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.
证明：(1)因为EF∥DB，
所以EF与DB确定平面BDEF.
如图，连接DE.
因为AE＝EC，D为AC的中点，
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，
所以AC⊥平面BDEF.
因为FB?平面BDEF，
所以AC⊥FB.
(2)设FC的中点为I，如图，连接GI，HI，
在△CEF中，因为G、I分别是CE、CF的中点，
所以GI∥EF.
又EF∥DB，所以GI∥DB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.
又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH?平面GHI，
所以GH∥平面ABC.
课件28张PPT。第二章 推理与证明
