第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
第2课时 分析法
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于综合法和分析法的说法错误的是( )
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
D．分析法又叫逆推证法或执果索因法
解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．
答案：C
2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证： <a，则证明的依据应是( )
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：<a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?(a－c)·(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.
答案：C
3．若a＞1，0＜b＜1，则下列不等式中正确的是( )
A．ab＜1 B．ba＞1
C．logab＜0 D．logba＞0
解析：因为a＞1，0＜b＜1，
所以logab＜loga1＝0.
答案：C
4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )
A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l?α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m?α
解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．
答案：D
5．设P＝，Q＝－，R＝－，则P，Q，R的大小关系是( )
A．P>Q>R B．P>R>Q
C．Q>P>R D．Q>R>P
解析：先比较Q与R的大小．
Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)．
因为(＋)2－(＋)2＝7＋2＋2－(6＋3＋2)＝2(－)<0，
所以Q
又P＝>R＝(－1)，
所以P>R>Q.
答案：B
二、填空题
6．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b?a－a>b－b?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
7．已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．
解析：因为a，b∈(0，＋∞)，且＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋≥10＋2＝16，
所以a＋b的最小值为16，
所以要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，所以0<μ≤16.
答案：(0，16]
8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1 ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析：要证明A1C⊥B1D1
只需证明B1D1⊥平面A1C1C
因为CC1⊥B1D1
只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1
从而得B1D1⊥A1C1.
答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
三、解答题
9．已知a>1，求证：＋<2.
证明：因为a>1，要证＋<2，
只需证(＋)2<(2)2，
只需证a＋1＋a－1＋2<4a，
只需证只需证a2－1该不等式显然成立，故原不等式成立．
10．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
证明：设圆和正方形的周长为L，
依题意，圆的面积为π，正方形的面积为，
因此本题只需证明π＞，
要证明上式成立，只需证明＞成立，
即证明＞，两边同乘以，得＞，
因为上式显然成立，所以π＞.
所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大．
[B级 能力提升]
1．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
解析：根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，所以只需证：＋<＋，只需证：(＋)2<(＋)2.
答案：C
2．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)是周期为3的奇函数，且f(1)>1，
所以f(2)＝f(－1)＝－f(1)，
因此<－1，则<0，
解之得－1答案：
3．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，证明：＋＝2.
证明：要证明＋＝2，
只要证ay＋cx＝2xy，
也就是证明2ay＋2cx＝4xy.
由题设条件b2＝ac，2x＝a＋b，2y＝b＋c，
所以2ay＋2cx＝a(b＋c)＋(a＋b)c＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋bc＋ac＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy成立，
故＋＝2成立．
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