第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
A级 基础巩固
一、选择题
1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”
答案：A
2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的顺序为( )
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
答案：B
3．用反证法证明在“△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
答案：B
4．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
答案：B
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于( )
A．0 B.13
C.12 D．1
解析：假设a，b，c都小于13，则a＋b＋c<1，与a＋b＋c＝1矛盾，选项B正确．
答案：B
二、填空题
6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，
∴应假设b与c平行或相交．
答案：b与c平行或相交
7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，
故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．
答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其假设为________．
解析：“a、b全为0”即是“a＝0且b＝0”，
因此用反证法证明时的假设为“a，b不全为0”．
答案：a，b不全为0
三、解答题
9．设x，y都是正数，且x＋y>2，试用反证法证明：1＋xy<2和1＋yx<2中至少有一个成立．
证明：假设1＋xy<2和1＋yx<2都不成立，即1＋xy≥2，1＋yx≥2.
又因为x，y都是正数，
所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，则x＋y≤2，
这与题设x＋y>2矛盾，
所以假设不成立．
故1＋xy<2和1＋yx<2中至少有一个成立．
10．设等比数列{an}的公比为q，Sn为它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)当q≠1时，数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
证明：(1)假设{Sn}是等比数列，
则S22＝S1?S3，
所以a21(1＋q)2＝a1?a1(1＋q＋q2)．
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
所以q＝0，这与等比数列的公比q≠0矛盾．
故数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q≠1时，假设{Sn}是等差数列，
则有2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．
因为a1≠0，所以q(q－1)＝0.
又q≠1，所以q＝0.
这与q≠0矛盾．
故{Sn}不是等差数列．
B级 能力提升
1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值( )
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
解析：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2
则a＋1b<2，b＋1c<2，c＋1a<2
∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a<6，①
又a，b，c大于0
所以a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2.
∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.②
故①与②式矛盾，假设不成立
所以a＋1b，b＋1c，c＋1a至少有一个不小于2.
答案：D
2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是( )
A.－12，32 B.－32，12
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：假设函数f(x)存在好点，
则x2＋2ax＋1＝x有实数解，
即x2＋(2a－1)x＋1＝0有实数解．
所以Δ＝(2a－1)2－4≥0，解得a≤－12或a≥32.
所以f(x)不存在好点时，a的取值范围是－12，32.
答案：A
3．已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在．理由如下：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，则OP⊥OQ.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由ax－y＝1，x2－2y2＝1，消去y，整理得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0.
所以x1＋x2＝－4a1－2a2，x1x2＝－31－2a2.
因为x1x2＋y1y2＝0，所以x1x2＋(ax1－1)(ax2－1)＝0，
所以(1＋a2)x1x2－a(x1＋x2)＋1＝0，
则(1＋a2)?－31－2a2－a?－4a1－2a2＋1＝0，
所以a2＝－2，这是不可能的．
故不存在满足题设条件的实数a.
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