课件26张PPT。第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明八年级数学沪科版·上册13.1.1三角形中边的关系新课引入新知探究
埃及金字塔新知探究
氨气分子结构示意图飞机机翼新知探究
问题：
（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？
（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.（1）都有三角形
（2）都有，如自行车架、高压线电线塔等.问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形.问题2：三角形中有几条线段?有几个角?A B C 有三条线段，三个角
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.新知探究
新知探究记法：三角形ABC用符号表示为________.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.△ABCc，b，acba顶点C角角角顶点A顶点B新知探究BCA在△ABC中，
AB边所对的角是：
∠A所对的边是：∠CB C再说几个对边与对角的关系试试.三角形的对边与对角：新知探究辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？不符合不符合不符合新知探究 ①位置关系：不在同一直线上；
②联接方式：首尾顺次.三角形应满足以下两个条件：表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,
△ CAB, △ ACB等.新知探究腰腰不等边三角形等腰三角形等边三角形底边顶角底角底角思考：你能找出下列三角形各自的特点吗？新知探究三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形 ；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形,又叫
做正三角形． 思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？总结归纳新知探究不等边三角形等腰三角形三角形按照三边情况进行分类腰和底不等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等的等腰三角形）新知探究我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？为什么？邮局学校商店小明家最近新知探究ABC路线1：沿从A到C再到B的路线走；
路线2：沿线段AB走.请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？路线2较短；两点之间线段最短.新知探究三角形任意两边的和大于第三边想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？三角形任意两边的差小于第三边三角形三边的关系定理的理论根据是？三角形的三边关系定理两点之间，线段最短.新知探究例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm；
（3）5cm、6cm、10cm. 判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；（3）能，因为5cm+6cm>10cm.新知探究针对训练
一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4
的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？ 设x为三角形第三条边的长，则有两边之差
新知探究例2 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.新知探究(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，
所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有
4+2x=18.
解得 x=7.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有
2×4+x=18. 解得 x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，
所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.新知探究例3 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小.解：在△BDC 中，有 BD+DC >BC（三角形的
任意两边之和大于第三边）.又因为 AD = BD，则BD+DC = AD+DC = AC，所以 AC >BC.课堂小结三角形定义及其基本要素顶点、角、边按边分类三边关系原理两点之间线段最短内容两边之和大于第三边两边之差小于第三边|a-b|b,x为第三边）应用不等边三角形等腰三角形（包括等边三角形）1.下列长度的三条线段能否组成三角形？（1） 3，4，8 （ ）
（2） 2，5，6 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 3，5，8 （ ）不能能能不能课堂小测课堂小测4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为______________.3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________.2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线段为边长可以构成________个三角形.322cm18cm或21cm课堂小测5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.解：设第三边长为x,根据三角形三边的关系，可得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，又x为奇数，则第三边的长为7.课堂小测6.已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c-a|
+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|.∴原式=|(b+c)-a|+|b-(c+a)|-|c-(a+b)|-|(a+c)-b| =b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c =2c-2a．解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，课件18张PPT。第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明八年级数学沪科版·上册13.1.2三角形中角的关系新课引入思 考三角形若按角来分类，可分为哪几类？ 三角形按边长关系，可分为：
新知探究
画一画：同学们手中有直角三角板，请再画一个内角不是90°的三角形.新知探究
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；锐角三角形有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.钝角三角形有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；直角三角形直角边直角边斜边ABC直角三角形ABC可以写成Rt△ABC；新知探究
直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形三角形三角形按角的大小分类新知探究小故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？三角形的三个内角和是多少?有什么办法可以验证呢?结论：三角形的内角和等于180°. 新知探究 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？新知探究拼接新知探究例1 如图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°.在△ABD中，∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,∠ABD=54°，∠ADB=90°，∴∠A=180°－∠ABD－∠ADB=180°－54°－90°=36°.解：∴∠C=180°－∠A－（∠ABD+∠DBC）=180°－36°－（54°+18°）=72°.新知探究 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.新知探究基本图形由三角形的内角和易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和易得∠1+∠2=∠3+∠4.总结归纳新知探究例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.解得 x ＝ 33.所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.和差倍分问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.新知探究②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形 . ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .102°直角60°50°70°课堂小结三角形中角的关系三角形按角分类直角三角形斜三角形三角形的内角和等于180°锐角三角形钝角三角形1.下列各组角是同一个三角形的内角吗？为什么？（2）60°， 40°， 90°（3）30°， 60°， 50°（1）3°， 150°， 27° 是 不是不是三角形的内角和为180°.课堂小测2.求出下列各图中的x值．x=70 x=60x=30 x=50 课堂小测3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .280 °课堂小测4.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．课堂小测课件28张PPT。第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明八年级数学沪科版·上册13.1.3三角形中几条重要线段新课引入当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线新知探究
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？新知探究
问题1 如图，若BD是∠ABC的平分线，
你能得到什么结论？∠ABD= ∠DBC 问题2 如图，若BD是△ABC的角平分线，
你能得到什么结论？D想一想：三角形的角平分线与
角的角平分线相同吗?相同点是 ∠ ABD= ∠ DBC;
不同点是前者是线段，后者是射线.∠ABD= ∠DBC新知探究
问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？三条角平分线交于一点．ABCDEF问题3：一个三角形有几条角平分线？3新知探究思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？三角形的三条角平分线交于一点．称之为三角形的内心．（后面学到）新知探究例1：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=
80°，求∠ECD的度数.解：∵DC平分∠ACB,又DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=80°.∴∠ECD=40°.∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB.新知探究问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD称为△ABC的什么呢？类比一下.ABC新知探究三角形的中线∵ AD是△ ABC的中线， ∴ BD = CD = BC. 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.新知探究 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？画图发现三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEF新知探究例2 如图，CD为△ABC的边AB上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长．解：∵CD为△ABC的边AB上的中线，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，
∴BC-AC=3，
∵BC=8，∴AC=5．方法总结：一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,新知探究【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 解：如图，∵DB为△ABC的中线，
∴AD=CD，
设AD=CD=x，则AB=2x，
当x+2x=12时，解得x=4.
BC+x=15，得BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；
当x+2x=15时，BC+x=12，解得x=5，BC=7，
此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．注意分类讨论新知探究问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.问题2 由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB= ∠ADC=90 °ABC垂足注意:标明垂直的记号和垂足的字母.新知探究高的叙述方法（如图）：有三种.②AD⊥BC,垂足为D.③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.①AD是△ABC的高.ABCD新知探究锐角三角形的三条高问题1 每人画一个锐角三角形.
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？问题2 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.新知探究直角三角形的三条高问题：在纸上画出一个直角三角形.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______; AB直角边AB边上的高是 ;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______. BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.新知探究ABCDEF钝角三角形的三条高问题：
(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？O钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点新知探究三角形的三条高的特性高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形
内部直角顶点三角形
外部归纳总结新知探究【方法总结】若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.例3：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．新知探究问题1 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题2 通过问题1你能发现什么规律？三角形的中线能将三角形的面积平分.新知探究例4：如图，在△ABC中，E是BC边上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.【方法总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．新知探究观察下列语句：
1.无限不循环小数称为无理数；
2.两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
3.三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义．新知探究例如:
1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
2. “两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义;
3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫做一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义.课堂小结三角形重要线段高钝角三角形两短边上的高的画法中线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,面积相等角平分线课堂小测2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形BD课堂小测3.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是△ABE的角平分线( )②BE是△ABD边AD上的中线( )③BE是△ABC边AC上的中线( )④CH是△ACD边AD上的高( )×××√课堂小测 4. 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.ACDB解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）.
又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,
∴AB-AC=3，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.5. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解： ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C) =180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，∴∠CAE= ∠BAC=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.ABCDE课堂小测