第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A．{－1} B．{1}
C．{1，－1} D．?
解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i，1}, 又B＝{1，－1}故A∩B＝{1，－1}．
答案：C
2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：因为z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)是实数，
所以a＋|a|＝0，因此a≤0.
答案：D
3．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A．±1 B．±i
C．±2i D．±2i
答案：C
4．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；
②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0?i＝0，故③也是错误的．
答案：A
5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.
答案：B
二、填空题
6．已知复数z＝m2(1－i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1.
答案：0或1
7．已知M＝{1，(m＋3)i}，N＝{1，2，3i}，若M∩N＝M，则实数m的值为________．
解析：由M∩N＝M，得M?N，所以(m＋3)i＝3i，
即m＋3＝3，m＝0.
答案：0
8．设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________．
解析：关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.
所以n2－2n＋1＝0，m－n＝0.所以m＝n＝1.
答案：1
三、解答题
9．当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋m2－7m＋12m＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：(1)由m2＋m－6＝0，m＋3≠0，得m＝2.
所以当m＝2时，z是实数．
(2)由m2＋m－6≠0，m＋3≠0，得m≠2且m≠－3，m≠－3，
即m≠2且m≠－3.
所以当m≠2且m≠－3时，z是虚数．
(3)由m2＋m－6≠0，m＋3≠0，m2－7m＋12＝0，得m≠2且m≠－3，m≠－3，m＝3或m＝4，
即m＝3或m＝4.
所以当m＝3或m＝4时，z是纯虚数．
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：因为M∪P＝P，所以M?P，
所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
B级 能力提升
1．若sin 2θ－1＋(2cos θ＋1)i是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－π4(k∈Z) B．kπ＋π4(k∈Z)
C．2kπ±π4(k∈Z) D.k2π＋π4(k∈Z)
解析：由题意，得sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得θ＝kπ＋π4θ≠2kπ±3π4(k∈Z)，所以θ＝kπ＋π4，k∈Z.
答案：B
2．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的取值范围是________．
解析：由log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，且x∈R，
所以log2（x2＋2x＋1）＝0， ①log2（x2－3x－2）＞1. ②
由①得x＝0或x＝－2，
当x＝0时，代入②式不成立，舍去．
当x＝－2时，代入②式，有log2(4＋6－2)＝3＞1成立，
因此x＝－2.
答案：{x|x＝－2}
3．已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈0，π2，z1＝z2，求λ的取值范围．
解：由z1＝z2，λ，m∈R，可得m＝2cos θ，4－m2＝λ＋3sin θ.
整理，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4sin θ－382－916.
因为θ∈0，π2，所以sin θ∈[0，1]．
则当sin θ＝38时，λ取最小值－916.
当sin θ＝1时，λ取最大值1.
因此，实数λ的取值范围是－916，1.
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