第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.2 复数的几何意义
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．下列不等式正确的是( )
A．3i＞2i B．|2＋3i|＞|1－4i|
C．|2－i|＞2 D．i＞－i
解析：两个虚数不能比较大小，则A、D错误．
又|2＋3i|＝13＜|1－4i|＝17，B不正确．
易知|2－i|＝5＞2，成立．
答案：C
2．当23A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1)．
由230，m－1<0.所以点Z位于第四象限．
答案：D
3．设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中正确的是( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z在复平面内对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
解析：2m2＋2m－1＝2m＋122－32，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1＞0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方．
答案：C
4．在复平面内，O为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量OB→对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：因为复数－1＋2i对应的点为A(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以OB→对应的复数为－2＋i.
答案：B
5．已知复数z对应的向量为OZ→(O为坐标原点)，OZ→与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A．1＋3i B．2
C．(－1，3) D．－1＋3i
解析：因为|OZ→|＝|z|＝2，且OZ→与实轴正方向夹角为120°.
设z＝x＋vi(x，v∈R)，
则x＝|z|?cos 120°＝2cos 120°＝－1，y＝|z|sin 120°＝3.
所以复数z＝－1＋3i.
答案：D
二、填空题
6．(2016?全国卷Ⅰ改编)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝________．
解析：由(1＋i)x＝1＋yi，x，y∈R，
得x＝1，且y＝1.
所以|x＋yi|＝|1＋i|＝2.
答案：2
7．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
解析：因为z＝(m－3)＋2m i表示的点在直线y＝x上，所以m－3＝2m，解得m＝9.
答案：9
8．复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为________．
解析：在复平面内三点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是钝角得AB→?AC→<0且B，A，C不共线，由(－3，－4)?(c－3，2c－10)<0解得c>4911，其中当c＝9时，AC→＝(6，8)＝－2AB→，三点共线，故c≠9.
答案：c>4911且c≠9
三、解答题
9．设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：
(1)z为实数；
(2)z对应的点位于复平面内的第二象限．
解：(1)由题意得m2－m－6＝0，m2＋2m－14>0，
解得m＝3(m＝－2舍去)．
故当m＝3时，z是实数．
(2)由题意得lg（m2＋2m－14）<0，m2－m－6>0，
即00.
即m2＋2m－14>0，m2＋2m－15<0，m2－m－6>0，
得m<－1－15或m>－1＋15，－53.
解得－5故当－510．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－12＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
解：因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－12＋mi(m∈R),
所以a＝(－3，0)，b＝－12，m.
又a，b的夹角为60°，
所以cos 60°＝（－3，0）?－12，m（－3）2＋02?－122＋m2，
则12＝32314＋m2，解得m＝±32.
因此实数m的值为±32.
B级 能力提升
1．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z的对应点的轨迹为( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
解析：因为|z|2－2|z|－3＝0，
所以(|z|－3)(|z|＋1)＝0，则|z|＝3，
因此复数z对应点的轨迹是一个圆．
答案：A
2．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________．
解析：因为点Z位于第三象限，
所以k2－6<0，4－k2<0，
所以2答案：(－6，－2)∪(2，6)
3．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋log2(m－2)i为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，求|z|.
解：由纯虚数的定义知
log2（m2－3m－3）＝0，log2（m－2）≠0，解得m＝4.
所以z＝4＋ni.
因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，
所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.
则z＝4－2i，
故|z|＝42＋（－2）2＝25.
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