第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于( )
A． B．3
C．－1 D．－1或3
解析：z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i，依题意，2m2＋m－1＝0，且3＋2m－m2≠0，解得m＝.
答案：A
2．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )
A．0 B.＋i
C.－i D.－i
解析：z1＋z2＝－i＝－i.
答案：C
3．在复平面内，复数z1＝i，z2＝i－2，z＝z1＋z2，则复数z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为z＝z1＋z2＝i＋i－2＝－2＋i，
所以实部小于0，虚部大于0，
故复数z对应的点位于第二象限．
答案：B
4．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作?ABCD，则||等于( )
A．5 B.
C. D.
解析：如图，设D(x，y)，F为?ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，
所以＝－＝(3，3)－(1，0)＝(2，3)，
所以||＝.
答案：B
5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
答案：B
二、填空题
6．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．
解析：由z＝3－4i，得|z|＝＝5，
所以z－|z|＋(1－i)＝－1－5i在复平面内对应点(－1，－5)在第三象限．
答案：三
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是________．
解析：因为，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，
所以对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.
又在平行四边形ABCD中，＝，
故对应的复数为4－2i.
答案：4－2i
8．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，f(z1＋z2)＝________．
解析：z1＋z2＝3＋3i，
f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3.
答案：3＋3
三、解答题
9．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求m的值．
解：z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0，
所以m＝1或2.
(2)若z为纯虚数，
则解得m＝－.
故当m＝－时，z为纯虚数．
10．在复平面内，A，B，C三 点对应的复数为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判定△ABC的形状．
解：(1)＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)，
所以＝－＝(1，1)，对应的复数为1＋i，
＝－＝(－2，2)，对应的复数为－2＋2i，
＝－＝(－3，1)，对应的复数为－3＋i.
(2)因为|AB|＝＝，|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
B级 能力提升
1．满足|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上所对应的点的轨迹是( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－i|＝|3＋4i|，
所以＝＝5，则x2＋(y－1)2＝25，
因此复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆．
答案：C
2．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为________．
解析：|z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|
＝
＝
＝ ≤
＝＋1.
答案：＋1
3．已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝＝，
sin B＝＝，
所以S＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
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