第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
答案：C
2．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．
答案：B
3．(2017·山东卷)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：易得z＝＝＝1－i
所以z2＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
答案：A
4．已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z等于( )
A．－3＋4i B．－3－4i
C．3＋4i D．3－4i
解析：由(3＋4i)z＝25，得z＝＝＝3－4i.
答案：D
5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
答案：A
二、填空题
6．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．
解析：因为(a＋bi)2＝3＋4i＝(2＋i)2，
所以a＋bi＝2＋i或a＋bi＝－2－i，
则或
所以ab＝2，a2＋b2＝5.
答案：5 2
7．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________．
解析：因为z＝1＋i，则＝1－i.
所以＋i·＝＋i(1－i)＝＋i＋1＝2.
答案：2
8．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝
________.
解析：z＝＝＝＝，
所以z·＝|z|2＝＋＝.
答案：
三、解答题
9．定义运算＝ad－bc，则满足＝0的复数z所对应的点在第几象限？
解：结合＝ad－bc，
可知＝z(1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0，
所以z＝＝＝2－i.
所以复数z所对应的点在第四象限．
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
解：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i，
所以z的共轭复数z＝－2－4i.
(2)由(1)知，w＝＋ai＝－2＋(a＋4)i，
所以|w|＝＝，
|z|＝2.
依题意，得20＋a2＋8a≤20，即a2＋8a≤0，
所以－8≤a≤0，即a的取值范围为 [－8，0]．
B级 能力提升
1．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F C．G D．H
解析：由题图可得z＝3＋i，
所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
答案：D
2．(2016·全国Ⅲ卷改编)若z＝1＋2i，则＝________．
解析：因为z·＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，
所以＝＝i(2＋i)＝2i－1.
答案：2i－1
3．已知复数z＝.
(1)求|z|；
(2)若z(z＋a)＝b＋i，求实数a，b的值．
解：(1)因为z＝＝＝＝3－i，
所以|z|＝.
(2)又z(z＋a)＝b＋i，则(3－i)(3－i＋a)＝(3－i)2＋(3－i)a＝8＋3a－(a＋6)i＝b＋i，
所以?
因此实数a＝－7，b＝－13.
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