课件18张PPT。第二十二章 相似形九年级数学沪科版·上册22.2.1 平行线与相似三角形教学目标1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；（重点）
2.会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.(难点)复习导入 我们就说△ABC与△A′B′C′______，记作__________________，△ABC与△A′B′C′相似比是k，则△A′B′C′与△ABC的相似比是____.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′,
∠C=∠C′,△ABC∽△A′B′C′相似两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应角与对应边.新知探究反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,
且 .∠A′∠B′∠C′相似比为1时，相似的
两个图形有什么关系？新知探究当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.新知探究例1 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．解：能.因为∠A＝70°，∠B＝60°，
所以∠C＝50°.
因为∠F＝60°，∠E＝50°，
所以∠D＝70°.
所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.∴ △ABC∽△DFE.新知探究 判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．方法总结新知探究例2 如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝58cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
(1)∠AED和∠ADE的度数；
(2)DE的长．解：(1)∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠ACB＝40°.
在△ADE中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°.(2) ∵△ABC∽△ADE.∴DE＝36.25cm.新知探究 当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．方法总结新知探究 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由.ABCD解:相似，在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A.∵ DE//BC，∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，过点E作EF//AB交BC于点FFE探究归纳新知探究∵DBFE是平行四边形，∴DE=BF.∴△ADE∽△ABCABCDFE新知探究 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.“A”型 “X”型 “A”型 新知探究例3 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB延长线与DF的延长线相交于点E，AB＝3BE，DE与BC相交于点F.请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，
∴△BEF∽△CDF∽△AED.
故当△BEF∽△CDF时，
相似比为BE∶CD＝BE∶AB＝1∶3；
当△BEF∽△AED时，相似比为BE∶AE＝1∶4；
当△CDF∽△AED时，相似比为CD∶AE＝3∶4.新知探究例4 如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.解：∵AM∥BN，
∴△NBC∽△MAC，课堂小结2.当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比；随堂小测
1.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____.
2.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=
4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是____ .
3.若△ABC的三条边长分别为3cm，5cm，6cm，与其相似的另一
个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△ A′B′C′的最大边长是
_____.
4.已知△ABC的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状是__________，又知△A1B1C1的最大边长为25cm，那么△A1B1C1的面积为________. 全等4︰324cm直角三角形150cm25.若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°，∠B=100°，那
么∠ C′的度数是（ ）
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
6.把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，
下列结论不能成立的是（ ）
A.△ABC∽△A′B′C′
B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等
C.△ABC与△A′B′C′的相似比为
D.△ABC与△A′B′C′的相似比为DC随堂小测7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.解：∵四边形EFCD是正方形，∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF.∴△ADE∽△ACB.∴DC=3,即正方形的边长为3...随堂小测课件19张PPT。第二十二章 相似形九年级数学沪科版·上册22.2.2 相似三角形的判定定理1教学目标1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件.
2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点）
3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）复习导入问题1：这两个三角形有什么关系？全等三角形新知探究 那这样变化一下呢？新知探究相似三角形相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.对应角……？对应边……？问题2 相似多边形的定义是什么？那根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？全等是一种特殊的相似新知探究三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似 角边角A
S
A角角边A
A
S边边边S
S
S边角边S
A
S斜边、直角边H
L问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？需要三个等量条件思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？新知探究问题 观察学生与老师的直角三角板相似吗？测量一下，得出你的猜想.新知探究形状相同，利用三角形内角和为180°可证明∠C=∠C′，计算对应边是成比例的，结论：这两三角形是相似的做一做：画△ABC，使∠A=30°,∠B=45°，再画△A′B′C′，使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三角形形状相同吗？你能证明∠C=∠C′吗？量出这两个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由此你可以得出什么结论？ 两角分别相等的两个三角形相似.猜想：由以上的探究写出利用角判定两个三角形相似的条件. 新知探究已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C'.
B'A'C'*证明猜想新知探究证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分
别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE.
∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，
∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B，
又∵∠B′=∠B，∴∠A′DE=∠B′，
∴DE∥B′C′，
∴△A′DE∽△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.B'A'DEC'新知探究两角分别相等的两个三角形相似.归纳总结用数学符号表示：相似三角形的判定定理1：注意：对应点写在对应的位置.新知探究1.在△ABC和△DEF中， ∠A=40°，∠B=80°， ∠E=80°， ∠F=60°.△ABC与△DEF_______（“相似”或“不相似”）.2 .有一个锐角相等的两直角三角形是否为相似 三角形？相似相似新知探究例1：如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC. 解: ∵ DE∥BC，EF∥AB.∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC.
（两角分别相等的两个三角形相似．）新知探究例2：已知：如图，∠1=∠2=∠3，
求证：△ABC∽△ADE．证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，
∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE.
又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
在△ABC和△ ADE中, ∠BAC=∠DAE，∠C= ∠E,
∴ △ABC∽△ADE.新知探究课堂小结利用两角判定三角形相似 定理1：两角分别相等的两个三角形相似相似三角形的判定定理1的运用 随堂小测1.已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80 °,∠E=80 ° , ∠F=60 ° ．求证：△ABC∽△DEF. AFECBD证明：∵ 在ΔABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=180 °－40 °－80 °=60 °.
∵ 在ΔDEF中，∠E=80 °，∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC∽△DEF（两角对应相等，两三角形相似）.2.如图，在等边三角形ABC中，边长为10，点D在BC上，BD=6，∠ADE=60°，DE交AC于点E.
（1）求证：△ABD∽△DCE.
∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE.
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠ADB+∠BAD=120°，又∠ADE=60°，∴∠ADB+∠CDE=120°，随堂小测（2）求CE的长.6104解：∵ABD∽△DCE，
∴CE=2.4.
随堂小测课件16张PPT。第二十二章 相似形九年级数学沪科版·上册22.2.3 相似三角形的判定定理2教学目标1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）
2.能熟练运用相似三角形的判定定理2．（难点）复习导入问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗?不相似观察与思考问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？相似相等新知探究①任意画△ABC;
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且
③量出B′C′及BC的长，计算 的值，并比较是否三边都对应成比例？
④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？由此可推出∠C′=∠C吗？为什么？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？与你周围的同学交流. 我发现这两个三角形是相似的画一画新知探究如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.∵DE∥B′C′,
∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△A′B′C′∽△ABC.*验证猜想新知探究 ∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.新知探究 如果△ABC与△A'B'C'两边成比例，且其中一边
所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
由此你能得到什么结论？你有疑问吗 ？新知探究33)【结论】判定两个三角形相似，角必须是两边的夹角.新知探究三角形的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．归纳总结新知探究例1：如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点.问：
（1）当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE；
（2）当AC:AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE.解：(1)∵∠A=∠A，
∴当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE
(两角分别相等的两个三角形相似).
(2)∵∠A=∠A，
∴当 时，
△ABC∽△ADE.
(两边成比例及夹角相等的两个三角形相似).新知探究解：∵AE=1.5，AC=2，
∴
∵ ∴
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
∴ ∵BC=3. ∴DE=例2:如图所示，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.ACBED新知探究例3:如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．ABCD证明： ∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB.
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.课堂小结利用两边及夹角判定三角形相似 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似相似三角形的判定定理2的运用 随堂小测1. 如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BCD2.已知在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠ A=∠A′= 90°，AB=6cm，AC=4.8cm，A′B′=5cm，A′C′=4cm.
求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明： ∠A=∠A′= 90°，
∴△ABC∽△ A′B′C′.随堂小测3.△ABC为锐角三角形，BD、CE为三角形的高 . 求证：△ ADE∽ △ ABC.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A=90°，
∠ACE+∠A= 90°.
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，
∴△ ABD ∽ △ ACE.
∴
∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ADE ∽ △ ABC.
随堂小测课件19张PPT。第二十二章 相似形九年级数学沪科版·上册22.2.4 相似三角形的判定定理3教学目标1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点）
2.能熟练运用相似三角形的判定定理3．（难点）复习导入 ⑴定义法:两个角分别相等，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.问题1：判定两个三角形相似我们学过了哪些方法?⑵引理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.具备两个条件：
(1) DE∥BC；
(2)两个三角形在同一图形中.新知探究思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角形相似的方法吗？(3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.(4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.新知探究 猜想：△ABC∽△A1B1C1A1B1C1如果：B新知探究证明:在△A1B1C1的边A1B1 (或延长线)上截取A1D=AB, 过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E.∵ DE∥B1C1 ，
∴△ADE∽△A1B1C1. DE新知探究∴又DE∴∴∴（SSS）∵∴新知探究判定三角形相似的定理3:
三边成比例的两个三角形相似.△ABC∽△A1B1C1.∵
∴几何语言：新知探究例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABCDFE解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.∴ △ABC∽ △DEF. 31.83.52.142.4新知探究 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.新知探究已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
DE＝16， EF＝20， DF＝30.(2)AB=4， BC=8， AC＝10.
DE＝20， EF＝16， DF＝8.(1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9.是否否（注意：大对大，小对小，中对中．）新知探究 例2:如图, 方格网的小方格是边长为1的正方形，△ ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，△ ABC与△ A′B′C′相似吗?为什么?解：△ ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，根据勾股定理，得∴ △ ABC与△ A′B′C′相似.新知探究 例3:如图所示，在△ABC和△ADE中， ∠BAD=20°,求∠CAE的度数.解：∵
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°.
∴∠CAE=20°.ABCDE新知探究 例4:如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′
= 90°，且
求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′ 从而BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2
= 4A′B′ 2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′ 2)
= 4B′C′2 =(2B′C′)2.从而由此得出，BC=2B′C′因此△ A′B′C′∽△ABC.
(三边对应成比例的两个三角形相似)课堂小结利用三边判定三角形相似 定理：三边对应成比例的两个三角形相似相似三角形的判定定理3的运用 1.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的判断?解：这两个三角形相似．
设1个小方格的边长为1，则随堂小测2.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，
BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．证明：∵ ∴ △ABC ∽△A′B′C′
（三边成比例的两个三角形相似)． 随堂小测3.如图，某地四个乡镇建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米， BC=42千米，DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.解：公路AB与CD平行.
∵ ， .∴ △ABD∽△BDC.∴ ∠ABD=∠BDC. ∴ AB∥DC. ..随堂小测4.已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线.求证：△ABC∽△FED证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线,∴ DE= BC,DF= AC,EF= AB,∴ △ABC∽△FED..随堂小测课件15张PPT。第二十二章 相似形九年级数学沪科版·上册22.2.5 直角三角形相似的判定教学目标1.掌握直角三角形相似的判定；（重点）
2.能熟练地运用直角三角形相似的判定定理.(难点)复习导入 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形，类似于判定三角形全等的HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？新知探究 在下图边长为1的方格纸上任画一个直角三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？ BCAFED我们可以发现这两个三角形相似．新知探究证明：设
由勾股定理 ，得
∴
∴
∴Rt △ABC∽Rt △A′B′C′.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠C=90°,∠C′=90°,
，求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
新知探究 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似.那么△ABC∽△A1B1C1. Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.新知探究例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠C′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.
求证：△ABC∽△B′C′A′.证明：在Rt△ABC中， .分析：先求两直角边BC和A′C′的比，再求两直角三角形的斜边AC和A′B′的比．又∵∠B＝∠C′＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.新知探究例2 如图，在下列四个三角形中，与△ABC相似的是( )【解析】根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC各边的长度，求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．设网格的边长是1，则 所以AB:AC:BC=1:2:
在Rt△ABC中，∴△ABC是直角三角形．∵选项A、D中的三角形不是直角三角形，∴排除A、D选项；∵AB∶AC＝1∶2，B选项中的三角形两直角边的边长比为1∶2，C选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2，∴选项B正确．B新知探究 以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键．方法总结新知探究例3 如图，∠ABC＝∠CDB=90°，CB＝a，AC＝b.问当BD与a，b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以点C，D，B为顶点的三角形相似？解：∵∠ABC＝∠CDB＝90°，当 时，△ABC∽△CDB.当 时，△ABC∽△BDC.?课堂小结 相似三角形的判定方法： 通过定义
平行于三角形一边的直线
两角分别相等
两边对应成比例且夹角相等
三边对应成比
两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（AA）（SAS）（HL）（SSS）1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C=∠C′=90°.依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明理由.
（1）∠A=25°，∠B′=65°；解:（1）∵ ∠A=25°，∠C=90°，
∴ ∠B=65°，
∴ ∠B=∠B′=65°, ∠C=∠C′=90°,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
随堂小测（2）∵AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8，
且∠C=∠C′=90°,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
（2）AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8.随堂小测2．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠BAC=∠B′A′C′=90°，AD，A′D′分别是两个三角形斜边上的高，且CD∶C′D′=AC∶A′C′.
请说明：△ABC∽△A′B′C′．随堂小测随堂小测
