课件20张PPT。第二十三章 解直角三角形九年级数学沪科版·上册23.1.1 正切教学目标1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；
（重点）
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计
算； (重点)
3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实
际问题.（难点）复习导入1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB2=____________.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=______.
8AC2+BC2新知探究问题引导问题 你能比较两个梯子哪个更陡吗？
你有哪些办法？新知探究如图,小明想通过测量B1C1及AC1,
算出它们的比,来说明梯子AB1的
倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,
算出它们的比,也能说明梯子AB1的
倾斜程度.你同意小亮的看法吗?新知探究直角三角形的边与角的关系(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? 如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?由此你得出什么结论?相似相等关系不变在角度一定的情况下，角的对边与邻边的比相同新知探究直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数——正切函数在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即发现：tanA的值越大，梯子越陡.新知探究ABC┌ 思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；可以大于1.延伸新知探究例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解:甲梯中, 乙梯中,∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则
tan A=______，tan B =______．2.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,
tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定C新知探究3.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边. BCADBDAC4.已知∠A,∠B为锐角，(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.==新知探究新知探究 如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i (即tanα)就是:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度h与水平长度l的比称为b坡面的坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.100m60m┌αi新知探究例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( )解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，B【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．课堂小结定义中应该注意的几个问题:1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
3.tanA是一个比值，直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.随堂小测1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？ 解：随堂小测2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B处.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).解：随堂小测提示:
求锐角的三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;解:随堂小测3.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(2)如图(2),BC=3,tanA= ,求AC和AB.提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.解:随堂小测4.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA= ,求AC和BC.4k3k随堂小测5.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.提示:
过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴在Rt△ABD中，易知BD=5，AD=12.课件20张PPT。第二十三章 解直角三角形九年级数学沪科版·上册23.1.2 正弦和余弦教学目标1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；
（重点、难点）
2.在直角三角形中求正弦值、余弦值. (重点)复习导入求出图中∠A的正切值.??新知探究如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？新知探究任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？新知探究 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．新知探究 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA 即cab对边斜边新知探究例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值．分析：先根据勾股定理求出b的长，再根据锐角三角函数的定义求解．解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，【方法总结】解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值．新知探究如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？探究归纳新知探究任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？ 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'新知探究 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值． 当锐角A的大小确定时，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即引出定义：对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是锐角A的函数.同理，cosA、tanA也是锐角A的函数.新知探究1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA是一个比值（数值）.
3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，正弦余弦新知探究解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．
过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，如图．在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，例2 如图,已知点P在第一象限,其坐标是(a,b)，则cosα等于( )C新知探究 也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，若点P不在第一象限，则要注意字母的符号．方法总结课堂小结在Rt△ABC中课堂小结定义中应该注意的几个问题:1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐 角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）.3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 随堂小测1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条线段之比求得？解：在Rt△ABC中，在Rt△BCD中，因为∠B=∠ACD，所以 求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值. 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．解：∵又∵10随堂小测3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、tanA的值．解：∵设AC=15k，则AB=17k所以∴随堂小测4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求：sinA、cosB的值．ABC8解：∵随堂小测课件15张PPT。第二十三章 解直角三角形九年级数学沪科版·上册23.1.3 30°、45°、60°角的三角函数值教学目标1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、45°、60°
角的三角函数值；（重点）
2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.
(难点)复习导入1.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= , BC=8，则AB=_______，AC=_______，sinB=_______，△ABC的周长是______.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，则∠A=_____，设AB=k，则AC=_____，BC=_____，sinB= sin45°=____， cosB =cos45°=____，tanB= tan45°= ____.1062445°1新知探究两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．30°60°45°45°新知探究设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a另一条直角边长＝新知探究设两条直角边长为a，则斜边长＝新知探究例： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，求∠A的度数．解： 在图中，典例精析新知探究如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 ．解： 在图中，新知探究1.求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）解： （1） cos260°＋sin260°＝1（2）＝0cos260°表示（cos60°）2.类似地sin2A表示（sinA）2，tan2A表示(tanA)2.新知探究 2.操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30°，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了.1.65米10米?30° 你知道小明怎样算出的吗？?课堂小结30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：1.如图，在△ABC中，∠A=30°，
求AB.D解：过点C作CD⊥AB于点D∠A=30°，随堂小测2.求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）解：（1）1－2 sin30°cos30°（2）3tan30°－tan45°+2sin60°随堂小测随堂小测3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A、∠B的度数．BAC解： 由勾股定理∴ ∠A=30°∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°随堂小测课件15张PPT。第二十三章 解直角三角形九年级数学沪科版·上册23.1.4 互余两锐角的三角函数关系教学目标1.理解并掌握任意两个锐角互余时，三角函数之间的关系；
（重点）
2.会利用互余的角进行三角函数之间的互换，进行简单地三角
变换或相应的计算.(难点)复习导入30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：新知探究从上面的表格中我们不难发现：
你还能从中发现什么规律呢？sin30°=cos60°
sin60°=cos30°
sin45°=cos45°规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余（正）弦的值.新知探究问题 这个规律是否适合任意一个锐角呢？你能够用所学的知识证明你的结论吗？提示：使用三角函数的定义证明.问题引导新知探究在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.∴sinA=cosB,cosA=sinB.
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°－∠A，
即sinA=cosB=cos（90°－∠A），
cosA=sinB= sin（90°－∠A）.新知探究sinA和cosB有什么关系?sinA=cosB 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的
余（正）弦值.结论：新知探究例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝ ，则cosA的值为( )解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．A新知探究例2 已知cosα＝ ，α＋β＝90°，则cosβ＝( )C解析：∵cosα＝ ，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝ .设β是一个直角三角形中的锐角，且sinβ＝ ，设b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ=【方法总结】利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边．新知探究下列式子中，不成立的是（ ）
A．sin35°=cos55°
B．sin30°+ sin45°= sin75°
C． cos30°= sin60°
D．sin260°+cos260°=1B新知探究 在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定.互余两个锐角的正切值互为倒数.结论：新知探究例3 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________．解析：∵tanA，tanB为方程3x2－tx＋3＝0的两根，∠A，∠B是锐角．∴tanA·tanB＝1.∴∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.90°【方法总结】利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小．课堂小结互余两角的
三角函数任意一个锐角的正（余）弦值，等于
它的余角的余（正）弦值.互余两个锐角的正切值互为倒数.随堂小测解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，
∴ tanB= .
又∵ sinA= ，
∴ cosB= sinA= .1.在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，sinA= ,求tanB，cosB.随堂小测2.计算：tan33°·tan34°·tan35°·tan55°·tan56°·tan57°.解：tan33°·tan34°·tan35°·tan55°·tan56°·tan57°
=(tan33°· tan57°)( tan34°· tan56°) (tan35°· tan55°)
=1课件14张PPT。第二十三章 解直角三角形九年级数学沪科版·上册23.1.5 一般锐角的三角函数值教学目标1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值；（重点）
2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小；
(重点)
3.熟练掌握计算器的按键顺序.（难点）复习导入1.同学们,前面我们学习了特殊角30°，45°，60°的三角函数值,一些非特殊角(如17°，56°，89°等)的三角函数值又怎么求呢?新知探究2.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？这里的tan42°是多少呢？新知探究1.求sin18°．第二步：输入角度值18，按 键.屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）=新知探究2.求 tan30°36'.屏幕显示答案：0.591 398 351第一种方法：第二种方法：第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）屏幕显示答案：0.591 398 351第三步：按=键第三步：按=键新知探究 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．新知探究 例：已知sinA=0.508 6，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还可以利用 键，进一步得到
∠A＝30°34'14.24 "第二步：然后输入函数值0. 508 6，屏幕显示答案： 30.570 621 36 （按实际需要进行精确）第一种方法：D·M′S2nd F第三步：按=键新知探究第二种方法：第二步：输入0. 508 6 按=键屏幕显示答案： 30°34'14.24 " （这说明锐角A精确到1'的结果为30°34'，精确到1 "的结果为30°34' 14" ）第三步：按 键D·M′S新知探究用计算器求下列锐角三角函数值；
（1） sin20°= ， cos70°= ；（2）tan3°8 ' = ，tan80°25'43″= . sin35°= ，cos55°= ；sin15°32 ' = ，cos74°28 ' = ； 探究归纳0.34200.34200.57360.57360.26780.26780.05475.9304Sin∠A=cos(90°-∠A)新知探究正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）归纳：在锐角三角函数中课堂小结1.我们可以用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角.
3.在锐角三角函数中
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.随堂小测1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
（2）cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9；
（3）tanA＝4.842 5，tanB＝0.881 6.∠B=38°8″∠A=38°51′57″∠A=51°18′11″∠B=80°27′2″∠A=78°19′58″∠B=41°23′58″随堂小测A2.下列各式中一定成立的是（ ）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D. sin75°﹤sin48°﹥sin15°
