课件15张PPT。第二十三章 解直角三角形九年级数学沪科版·上册23.2.1 解直角三角形教学目标1.掌握解直角三角形的概念；（重点）
2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题. (重点、难点)复习导入(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，
tanA=_____. 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290°观察与思考新知探究例：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，解这个直角三角形.解：解直角三角形:在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程．新知探究在图中的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4新知探究在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC675°）新知探究事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．新知探究 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.D解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= .
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD=
∴BC=CD+BD= +新知探究1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形.6解：∵AD平分∠BAC新知探究2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;解：根据勾股定理得新知探究 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
(2) ∠B＝72°，c = 14.解：（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系 （勾股定理）在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：新知探究课堂小结1．数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.2．方程思想.3．转化（化归）思想.解题思想与方法：随堂小测?A随堂小测2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）解：在等边△ABD中，∠B=60°,∵∠BAC=90°, ∴∠C=30°. ∴BC=4. 课件13张PPT。第二十三章 解直角三角形九年级数学沪科版·上册23.2.2 构造直角三角形求解教学目标1.理解构造直角三角形的方法；（重点）
2.掌握化斜为直的基本思路. (重点、难点)
复习导入(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90o；(3)边角之间的关系:sinA＝ＡＣＢabc别忽略我哦！新知探究??-新知探究 归纳：
将知道两特殊角的斜三角形通过作垂线，构造成两个直角三角形，运用公共边相等，结合勾股定理或锐角三角函数即可解直角三角形.新知探究例：黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=3 千米，请据此解答如下问题：
（1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据 ≈1.414， ≈1.73 ， ≈2.45）；
（2）求∠ACD的余弦值．
新知探究?课堂小结构造直角三角形解决实际问题的方法：
（1）观察所给图形，利用公共边、作垂线等方法将斜三角形构造成直角三角形
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．随堂小测?随堂小测?随堂小测?随堂小测2.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图.此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知∠CFD=30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为多少米？ABDCF课堂小测?点D，课件15张PPT。第二十三章 解直角三角形九年级数学沪科版·上册23.2.3 仰角、俯角问题教学目标1.巩固解直角三角形有关知识；（重点）
2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题. (难点)复习导入问题 秋千是我们生活中常见的娱乐器材，如图所示是秋千的简图，秋千拉绳(OA)的长为3m，静止时秋千踏板(B，大小忽略不计)距离地面(BE)的距离为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大的摆角(摆角是指秋千拉绳与铅垂线的夹角∠AOB或∠COB)约为52°.你能否通过所学知识求出秋千踏板与地面的最大距离约为多少？观察与思考?52°新知探究例1 如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又在此处测得山顶A的仰角为45°，求山高(结果保留根号)．分析：要求AC，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△ABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.仰角：向上的视线与水平线之间的夹角.新知探究解：在Rt△ABC中， 在Rt△ACD中，∴BD＝BC－DC新知探究例2 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．俯角：向下的视线与水平线之间的夹角.?新知探究 在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．新知探究例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中， =30°,β=60°.在Rt△ABD中，
=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．仰角水平线俯角新知探究解：如图， = 30°,β= 60°， AD＝120m．答：这栋楼高约为277.1m.m.m.m.仰角水平线俯角新知探究建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.解：在等腰直角三角形BCD中，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2m.答：旗杆的高度为15.2m.m.课堂小结1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
课堂小结3.认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决. 2.梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理.随堂小测1.如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.
2.如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.100图②CB图①CB随堂小测解：依题意可知，在Rt△ADC中所以树高为19.2+1.72≈20.9(米)3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的目高是1.72米，求树高(精确到0.1米）.随堂小测4.如图③，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．5.如图④，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）． ③④课件32张PPT。第二十三章 解直角三角形九年级数学沪科版·上册23.2.4 方向角、坡度问题教学目标1.正确理解方向角的概念；（重点）
2.能运用解直角三角形的知识解决方向角的问题； (难点)
3.理解并掌握坡度、坡比的定义；（重点）
4.学会用坡度、坡比解决实际问题. (难点)
复习导入 如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB，你知道如何准确描述此轮船航行的方向吗？新知探究引例 如图，一艘船以20 n mile/h 的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行 1 h 到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周 10 n mile内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？D【分析】这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于 10 n mile.北东新知探究解：过点C作CD⊥AB,设CD= x n mile , 则在Rt△ACD中，在Rt△BCD中，解得所以这船继续向东航行是安全的.ACBD30°60°北东由AB=AD-CD,得新知探究如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°的方向上，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°的方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？65°34°PBCA新知探究解：如图 ，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向上时，它距离灯塔P大约130.23海里．65°34°PBCA新知探究利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．新知探究例1 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)．分析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．新知探究解：分两种情况：
(1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30km，BC＝60km，
∴∠B＝30°.
∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.
∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°.在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，
∴AD＝DC＝30km.CPD新知探究(2)如图②，同理可求得 km，AD＝30km.新知探究例2 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少(精确到1km)？解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AD＋BD＝AB，B新知探究∴在Rt△BCD中，∴AC＋BC＝ 在Rt△ACD中，747－600＝147(km)．
答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km.【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．新知探究水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡角α ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？
新知探究αi= h : l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .2.坡度（或坡比） 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.3.坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值坡面水平面新知探究1.斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度.
2.斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _______.
3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.
301：1新知探究例1：如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB与斜坡CD的坡度如图所示，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角α和β的值（精确到1°）.ABCEDαβi'=1:2.5i=1:1.6解：过点C作CF⊥AD于点F,得FCF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.∵ BE=5.8 m ∴ AE=9.28 m ，DF=14.5 m.∴ AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6 m.新知探究ABCEFDαβi'=1:2.5i=1:1.6F新知探究例2：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）;
（2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）.EF分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线；新知探究 垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出； 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF.解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知EFBE=CF=23m ， EF=BC=6m.在Rt△ABE中新知探究在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4，
由计算器可算得 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°.新知探究与测坝高相比，测山高的困难在于坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？新知探究 我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.新知探究 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 方法归纳课堂小结方向角：指北方向或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角. 解决与方向角和坡度的问题的关键是找到与已知和未知数据相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.随堂小测1.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAD30°60°随堂小测解：过点A作BD的垂线,交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°.由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x海里 , 则AD=2x海里在Rt△ADF中，根据勾股定理，得在Rt△ABF中，解得x=6因为10.4 > 8，所以没有触礁危险.BADF30°60°随堂小测2. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向上，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由 (参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).随堂小测 分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．随堂小测随堂小测 3一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）. ?
45°30°4米12米ABCD随堂小测解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9（米）．
答： 路基下底的宽约为22.9米．
