课件16张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数九年级数学沪科版·上册21.4.1 几何面积最值问题教学目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.（重点）
3.能应用二次函数的性质解决几何中面积最值问题.（重点）
复习导入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5； (配方法) （2）y=-x2-3x+4.(公式法)解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；新知探究引例 某水产养殖户用长40米的围网，在水库中围一块矩形的水面投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？解：设它的长为x米，则宽为（20-x）米，
∴S矩形 =x(20-x)=-(x-10)2+100（0＜x＜20）
由图知，这个函数的图象开口向下，顶 点坐标是（10，100）.
∴当x=10时，这个函数有最大值，
S最大值=100（平方米）.答：它的边长应是10米.图中为何有两个空心点？实际问题注意取值范围新知探究例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数表达式是什么？
新知探究例1 用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l)，即 S=-l 2+30l (0墙的长度不同，自变量的取值范围不同设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x（21≤x＜30）.新知探究问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 ＜ x ≤18.问题6 如何求最值？由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378m2. 不正确.新知探究 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.新知探究例2：如图，在一个直角三角形AEF的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．其中AE=30m，AF=40m，ED:CD=3：4.
（1）设矩形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？当x=20时，y最大＝300.解：1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，则宽为 m.
且0＜x≤18,0＜ ＜x，故5＜x＜15.
当x= 时,新知探究 2. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的边长 BC为 x m，绿化带的面积为 y m 2．
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围.
（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？新知探究课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数表达式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定随堂小测1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.3随堂小测3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费用最多，并求出这个费用.解： (1)∵矩形一边长为x，则另一边长为 (6-x)，∴S=x(6-x)=-x2+6x，其中0＜x<6.(2)∵S=-x2+6x=-(x-3)2+9；∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大值为9m2.这时设计费用最多为9×1000=9000（元）课件18张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数九年级数学沪科版·上册21.4.2“抛物线”模型问题教学目标1.能运用二次函数的知识分析解决相关实际问题；（重点）
2.经历探索解决实际问题的过程，进一步获得利用数学方法解决
实际问题的经验； （难点）
3.感受数学建模思想和数学的应用价值.（难点）复习导入 我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！复习导入复习导入新知探究如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数表达式的类型.（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x+h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO新知探究 例1 如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；新知探究(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a?4502+0.5.
解得
故所求表达式为新知探究(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.解：当x=450－100=350（m）时，得当x=450－50=400（m）时，得新知探究例2 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)4米新知探究解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3.
● (2,-2)设二次函数表达式为新知探究解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数表达式；
(4)利用待定系数法求出函数表达式；
(5)根据求得的表达式进一步分析、判断并进行有关的计算. 课堂小结实际问题数学模型 （二次函数的图象和性质）拱桥问题（实物中的抛物线形问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.随堂小测1.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????随堂小测【分析】（1）根据抛物线在坐标系的位置，可设抛物线的表达式为y=ax2，只需要一个条件可确定表达式，依题意点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，可求抛物线表达式；
（2）根据高度关系可确定C，D两点纵坐标，可求它们的横坐标及CD的长度，解答本题问题．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，∴﹣5.6=36a
∴抛物线的表达式为随堂小测（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4
∴ ???????????????????????，解得k= ???????????，
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07（舍去）
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.随堂小测2.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？OA1.25米随堂小测OA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
为点B，与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. xy设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0), 把点A坐标代入，得a= － 1；当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5∴水池的半径至少要2.5米.∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 1.25课件30张PPT。第二十一章 二次函数与反比例函数九年级数学沪科版·上册21.4.3 实际问题中的一般最值问题教学目标1.掌握如何将实际问题转化为数学问题；（重点）
2.进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用； （难点）
3.进一步体会数形结合的数学思想方法.（难点）复习导入 中国女排历经12年重获奥运冠军，作为每一个中国人值得为此骄傲！排球运动中存在着许多与数学知识有关的实际问题.那么何时扣球，才能让对方措手不及呢？新知探究新知探究 例1 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？3米4米4米O新知探究ABC因此可设抛物线的表达式是y=a(x-4)2+4 ①.解得 所以抛物线的表达式是 .当x=8时，则所以此球不能投中.判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；O新知探究若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点儿；（2）向前平移一点儿.3米8米4米4米O新知探究yx（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（1）跳得高一点儿；新知探究（8，3）（4，4）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（７，３）
●（2）向前平移一点儿.x新知探究 例2 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下表达式：
其中h是物体上升的高度，v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10m/s2)， t是物体抛出后经过的时间.
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s.
(1)问排球上升的最大高度是多少？解：根据题意，得因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1，5）.
即排球上升的最大高度为5m.新知探究(2) 已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？解得排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度，但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.解：当h=2.5 m时，得如果来不及在0.3s扣球，她还可在何时扣球？1.7s新知探究 例3 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．已知正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，手到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋0.9.
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)如果小刚站在OD之间，且离点O的
距离为3米，当绳子甩到最高处时恰好
通过他的头顶，请你计算出小刚的身高；
(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，
且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处
时超过她的头顶，请写出t的取值范围．新知探究解析：对于第(1)问，由题意可知E点的坐标为(1，1.4)，B点的坐标为(6，0.9)，将这两点的坐标代入y＝ax2＋bx＋0.9，可以求出抛物线对应的函数表达式；
对于第(2)问，实质是求当x＝3时的函数值；
对于第(3)问，结合图象并根据轴对称性求t的取值范围．新知探究解得∴所求抛物线对应的函数表达式是y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9.解：(1)由题意得点E(1，1.4)，B(6，0.9)在抛物线上，
将它们代入y＝ax2＋bx＋0.9，得(1)求该抛物线对应的函数表达式；新知探究解：当x＝3时，y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8，
∴小刚的身高是1.8米.(2)如果小刚站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时恰好通过他的头顶，请你计算出小刚的身高；新知探究解：由抛物线的轴对称性可知13.在实际问题中要注意自变量的取值范围内.1.首先要建立适当的平面直角坐标系；求解运动中的抛物线问题一般步骤新知探究 例4 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表： 有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110km/m）行驶导致了交通事故？新知探究 【分析】 要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速.题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数表达式是解答本题的关键.解： 以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，如图.50403020新知探究 观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，y（制动距离）与x（制动时车速）之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，
即设 y=ax2+bx+c 任选三组数据，如取（0,0），（10,0.3），（20,1）代入函数表达式，得解得即所求二次函数表达式为 y=0.002x2+0.01x（x≥0）.新知探究 把y=46.5m代入上式，得答：制动时车速为150km/h(＞110km/h)，即在事故发生时，该汽车属超速行驶.解得 46.5=0.002x2+0.01xx1=150（km/h）, x2=-155（km/h）(舍去）.
新知探究 对于二次函数不明确的两个变量，通常采用取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数表达式. 例5 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.新知探究何时橙子总产量最大?果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量你能根据表格中的数据作出猜测吗？y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000.在上述问题中,增种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？6009560180602256032060375604206045560480604956050060320604956045560420新知探究何时橙子总产量最大1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.2.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?(x为正整数）新知探究新知探究解函数应用题的步骤:设未知数(确定自变量和函数);
找等量关系,列出函数表达式;
化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);
求自变量取值范围；
利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
写出结论.
课堂小结实际问题数学模型 （二次函数的图象和性质）实际数据分析问题运动中的抛物线问题（运动中的抛物线形问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.随堂小测1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数表达式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.2随堂小测3. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x元，日均获利为y元.
（1）求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标， 并指出单价定为多少元时日均获利最多，最多是多少？【分析】（1）日利润=每千克的利润×日销售量﹣杂支，根据物价部门规定，x的取值范围是30≤x≤70；
（2）用配方法变形，根据顶点的性质画草图解答．
解：（1）y=（x﹣30）【60+2（70﹣x）】﹣500
=﹣2x2+260x﹣6500（30≤x≤70）；
（2）y=﹣2（x﹣65）2+1950，顶点是（65，1950），单价
定为65元时，日均获利最多是1950元．
??????????????????????????????????????????随堂小测
