课件33张PPT。第十五章 轴对称图形与 等腰三角形八年级数学沪科版·上册15.3.1等腰三角形的性质新课引入等腰三角形新知探究
定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.底边新知探究
等腰三角形的性质1剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？互动探究新知探究
ABCAB=AC等腰三角形新知探究找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. AC B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C.∠BAD 与∠CAD∠ADB 与∠ADC等腰三角形是轴对称图形. 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.新知探究定理1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.ABCD已知：△ABC 中，AB=AC,
求证：∠B=∠C .应用格式：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）新知探究证法2：
证明：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），
∴ ∠B＝∠C.新知探究 证法3：
证明：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.新知探究解 :∵AB=AC,（已知）
∴∠B=∠C，（等边对等角）
∴∠B=∠C= ×（180°－120°）=30°.
又∵BD=AD,（已知）
∴∠BAD=∠B=30°.（等边对等角）
同理，∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE
=120°-30°-30°=60°.例1 如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 点D, E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE. 求∠DAE的度数.新知探究 例2 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,∠ABC= ∠C=∠BDC=2 ∠A,（2）设∠A=x,把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °
∴x+2x+2x=180 °,新知探究解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.新知探究【变式题】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.解：∵AB=AD=DC，
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x.
在△ABC中， 根据三角形内角和定理得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.新知探究例3 等腰三角形的一个内角是50°，求这个三角形的底角的度数.解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．新知探究等腰三角形的性质2 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?新知探究定理2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）. 填一填:根据等腰三角形的性质定理2完成下列填空.
在△ABC中， 当AB=AC时， （1）∵AD⊥BC，
∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.(3) ∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.122BDCDADBCBD1BCADCD新知探究任意画出一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？不重合！为什么不一样?新知探究1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角、直角或者
钝角.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（×）（×）（×）（×）（√）（√）判断对错新知探究例3 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.新知探究证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.图②图①G方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．新知探究等腰三角形的性质定理的推论类比探究问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C=60°新知探究推论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°.已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
新知探究问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边上的高
底边上的中线
三线合一一条对称轴三条对称轴新知探究例4 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.课堂小结等腰三角形的性质等边对等角三线合一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质.推论等边三角形三个内角相等，且均等于60°2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50° A1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角的度数分别
是 （ ）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70° B课堂小测3.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹的锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30° C课堂小测4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为
____ __；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为
____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为
.75°, 30°72°,72°或36°,108°30°，30°课堂小测 5.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．70°或20°注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行分类讨论.课堂小测6.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，
∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.解：∵AB=AC，D是BC边上的中点， ∴ ∠C= ∠ B=30°，
∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°. ∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.= 60°.课堂小测7.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，∴课堂小测8.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM 等于多少度？解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.课堂小测9.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！8个这样分类就不会漏啦！C1C2C3C4C5C6C7C8课堂小测课件30张PPT。第十五章 轴对称图形与 等腰三角形八年级数学沪科版·上册15.3.2等腰三角形的判定新课引入 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA新知探究
等腰三角形的判定ABC 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？新知探究
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?建立数学模型：做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？AB=AC你能验证你的结论吗？新知探究
在△ABD与△ACD，∠1=∠2，∴ △ABD ≌ △ACD. ∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明： ∴ AC=AB. ( )
即△ABC为等腰三角形.∵∠B=∠C， ( )知识要点等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.已知等角对等边 在△ABC中， 应用格式：((新知探究
新知探究（等角对等边）.（等角对等边）.错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? 新知探究例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC． 求证：AB=AC． 证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）． 新知探究例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.总结：平分+平行=等腰三角形新知探究 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，
重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？BCADE变式训练 是由折叠可知，∠EBD=∠CBD，∵AD∥BC，∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.新知探究练一练：
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定
△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°B2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.3cm新知探究例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．新知探究例4 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.解：EF=BE+CF.
理由：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.新知探究等腰三角形的判定定理推论推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.由等腰三角形的判定定理可以直接得到：新知探究辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不
是是是是是（4）（3）不一定
是新知探究例5 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.证明：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= ∠B= ∠C.∵ DE//BC,∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.∴ △ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？新知探究 解：成立.理由：∵△ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形.变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？ 新知探究变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？ 解： 成立.理由如下：
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC =∠B =∠C．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ △ADE 是等边三角形．新知探究变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.解：是等边三角形.理由如下：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A= 60°.∵ AD=AE,∴ △ADE是等腰三角形.∴ △ADE是等边三角形.新知探究例6 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．新知探究方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.新知探究针对训练： 如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE.
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是一个等边三角形．课堂小结等腰三角形的判定等角对等边定义注意是指同一个三角形中有两边相等的三角形是等腰三角形推论1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.课堂小测1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形CA3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 OabDA课堂小测4.如图，已知∠A=36°，∠ABD=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.36°72°△ABC、△DBA、△BCD5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.9第4题图第5题图课堂小测6.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是_____. 7.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.1215°课堂小测8.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.证明：连接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.课堂小测9.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴BD=DE（等角对等边）．课堂小测10.在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABC3种“补出”方法：
方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A．
方法2：作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A．
方法3：对折．课堂小测课件23张PPT。第十五章 轴对称图形与 等腰三角形八年级数学沪科版·上册15.3.3含30°的直角三角形的性质新课引入问题1 如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接斜边AB是30°角所对
直角边BC的2倍.CAB新知探究
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？等边三角形变成一个含30°角的直角三角形新知探究
含30°角的直角三角形的性质 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD= AB.新知探究
证法1证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，
则△ABD 是等边三角形．已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．∴ BC = AB． 证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴ BC = AB． 证法2新知探究
新知探究知识要点含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°， ∴ BC = AB． 新知探究判断对错
(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的
一半． (2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半. (3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半. (4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√ 新知探究例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.新知探究 例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3 B．2
C.1.5 D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.EC方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．新知探究例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，新知探究在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.新知探究例4 一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午
8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.
（1）画出礁石C的位置；
（2）求出B处到礁石C的距离.BC30°60°解：（1）如图,以B为顶点，向北偏西60°作角，
这角一边与AM交于点C,
则点C为礁石所在地；M新知探究（2）∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，
∠BAC=30 °， ∠DBC=60°，
∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB，
∴BC=AB ，( 等角对等边)
即 BC=AB=10×2=20(海里）.答：从B处到礁石C的距离为20海里.BC30°60°M新知探究例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. ACBD15 °15 °20解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
))∴CD= AC= ×20=10.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．课堂小结内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点含30°角的直角三角形的性质找准30 °的角所对的直角边，点明斜边注意前提条件：直角三角形中1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元BB课堂小测4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC
= .55.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______.83.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1第3题图第5题图课堂小测6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，求AC的长．解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠B=∠EAB=15°，
∴∠AEC=30°，
∵∠C=90°，∴AC= AE= BE=2.5．课堂小测7.在 △ABC中, AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明:∵AB=AC,∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点,∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°, ∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED==90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.课堂小测解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，∴BC= AB, DE= AD.∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).又AD= AB,∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.8.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长.课堂小测9.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q, 求证:BP=2PQ.∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，课堂小测∴∠CAD=∠ABE,∠BAP+∠CAD=60°.
∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵ BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，课堂小测
