课件29张PPT。第十五章 轴对称图形与 等腰三角形八年级数学沪科版·上册15.4.1角平分线的尺规作图与性质新课引入问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分
线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法． 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？可以新知探究
提炼图形新知探究
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=
DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.新知探究
挑战第二关 探索新知问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该
仪器的功能吗？尺规作角平分线做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明
作图方法与仪器的关系.提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？作法：
1.以____为圆心，______长为半径画圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；2.分别以点 _____ 为圆心，
__________的长为半径画弧，两条圆弧交于
∠AOB内一点____； 3.作射线_____；_____就是所求作的∠AOB的平分线.点O任意M、N大于POPOP尺规作图ABNM Ｏ新知探究
新知探究想一想：为什么OP是角平分线呢？BA Ｏ已知：OM=ON，MP=NP.
求证：OP平分∠AOB.证明：在△OMP和△ONP中，
OM=ON，
MP=NP，
OP=OP，
∴ △OMP≌ △ONP,（SSS）
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB.新知探究如何过一点P作已知直线l的垂线呢？ 由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.问题引导过一点作已知直线的垂线新知探究①在直线l 上点P 的两旁分别截
取线段PA， PB，使PA= PB；(1)当点P在直线l上.③过点C， P作直线CP，
则直线CP为所求作的直线.·PABCl这一步的目的是什么？新知探究 (2) 当点P在直线l外.①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径
画弧， 交直线l于点A，B；③过点C,P作直线CP，则直线CP为所
求作的直线.·PABCl第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于P到l的距离？新知探究例1 利用直尺和圆规作一个等于45°的角.作法:
1.作直线AB；
2.过点A作直线AB的垂线AC；
3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB就是所要求作的角.新知探究
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________COBAPD=PE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
任意一点
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
新知探究
验证猜想已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.在△PDO和△PEO中，∠PDO= ∠PEO，∠AOC= ∠BOC，OP= OP，∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).∴PD=PE.角平分线上的点到角两边的距离相等新知探究
性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等.应用格式：∵OP 是∠AOB的平分线，∴PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA,PE⊥OB，判一判：（1）∵ 如左下图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 角平分线上的点到角两边的距离相等BD CD×(2)∵ 如右上图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = ,
( ) 角平分线上的点到角两边的距离相等BD CD×新知探究
新知探究例2：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ EB=FC.新知探究例3:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.4温馨提示：存在两条垂线段———直接应用新知探究变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.4温馨提示：存在一条垂线段———构造应用新知探究 变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△ APB的面积.
（3）求△PDB的周长.由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，新知探究1.应用角平分线的性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线的性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解课堂小结角平分线的尺规作图①已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件②求作：根据题目写出要求作的图形及此图形应满足的条件③作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程性质定理一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等课堂小测1.如图所示的作图痕迹作的是 （ ）A.线段的垂直平分线
B.过一点作已知直线的垂线
C.一个角的平分线
D.作一个角等于已知角B2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等A课堂小测3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．CBAm课堂小测CNMABD解：课堂小测4.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .3E课堂小测5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.课堂小测6.如图所示，D是∠ACG平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.课堂小测7.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.证明：∵OD平分线∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.课堂小测课件23张PPT。第十五章 轴对称图形与 等腰三角形八年级数学沪科版·上册15.4.2角平分线的判定新课引入 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？
（比例尺为1︰20000）OS区所在的角的平分线上.新知探究 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．思考：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.思考：这个结论正确吗？逆
命
题新知探究已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP， ∴点P在∠AOB 的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中，（全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边），PD= PE（已知 ），∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.∴∠AOP=∠BOP新知探究判定定理：
角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P 在∠AOB的平分线上.新知探究例1:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上. GHMABCFED新知探究例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)新知探究方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：新知探究活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形三条内角平分线相交于一点新知探究活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？新知探究已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D E F 新知探究想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上. 结论：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三边的距离相等.D E F 新知探究EO变式：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用解：∵AP平分∠BAC，OE⊥AB，OM⊥AC
∴OE=OM=4
同理OE=ON
∴OE=OM=ON=4
∴点O到△ABC三边的距离和为12.新知探究解：连接OC.
(2)若△ ABC的周长为32，求△ABC的面积.新知探究1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：距离面积周长条件知识与方法新知探究例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )A．110° B．120° C．130° D．140°A解析：由已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是内心，即三条角平分线
的交点，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝ ∠ABC，∠BCO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.新知探究归纳总结OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线的性质课堂小结角平分线的判定判定定理角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上重要结论三角形的角平分线相交于内部一点课堂小测1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .60BF68102.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.解：(1)DC=DE.理由如下：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，
DC=DE，DB=DB，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴BE＝BC=8.
∴ AE＝AB-BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.课堂小测3. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．P 课堂小测4.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 课堂小测P1P2P3P4l1l2l3课堂小测
