课件19张PPT。第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明八年级数学沪科版·上册13.2.1命题新课引入 上节课，我们在研究三角形性质时，通过折叠、剪拼或度量得到三角形三个内角的和是180°.对于这个结果，有同学提出以下疑问：在拼接时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值.度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°.新知探究
怎么回答上面问题呢？ 在学习几何时，需要观察和实验，同时也需要学会推理.从这一章起我们将系统学习用逻辑推理方法对几何中的结论进行论证.新知探究
推理是一种思维活动．人们在思维活动中，常要对事物的情况作出种种判断．
例如：判断对错(1)北京是中华人民共和国的首都;
(2)如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2;
(3)1+1<2；
(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，
那么这个数能被3整除.√√√×命题的定义及真、假命题、反例新知探究
由此可见，我们对客观事物情况的判断可能是正确的，也可能是错误的．命题： 对某一事件作出正确或者不正确判断的语句（或式子）叫做命题（也可以说：判断一件事情的语句叫做命题）即：只要是判断的句子都是命题.(1)你的作业做完了吗？
(2)欢迎前来参观！
(3)以点O为圆心，3cm长为半径画弧.像这样对某一事件的对错没有给出任何判断就不是命题.因此，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题新知探究
新知探究1.如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形；
2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
3.如果一个数是正数，那么这个数有两个平方根.
这些命题有什么共同的结构特征？观察下列命题：新知探究如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形；
命题都可以写成“如果……那么……”的形式；其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.条件结论已知事项由已知事项推断
出来的事项定义：命题的一般形式：如果p，那么q（若p,则q ），
其中p是题设，q是结论.新知探究讨论：我们如何判断一个命题的真假？ 要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.例如：相等的两个角是对顶角.反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.命题有真有假正确的命题叫做真命题错误的命题叫做假命题命题的类型新知探究 例1：下列句子都是命题吗？若是命题，那是真命题吗？
(1)熊猫没有翅膀.
如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
(2)对顶角相等.
如果两个角是对顶角，那么它们就相等.
(3)平行于同一条直线的两条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.都是命题新知探究例2 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
⑴同位角相等，两直线平行；
⑵三边相等的三角形是等边三角形.
条件是：
结论是：
改写成：条件是：
结论是：
改写成：同位角相等两直线平行 如果一个三角形的三边相等，那么这个三角 形是等边三角形.这个三角形是等边三角形一个三角形的三边相等 如果同位角相等，那么两直线平行.新知探究例3 举反例说明下列命题是假命题.（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若ab=0，则a+b=0.解：（1）如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对顶角,但它们相等；（2）如：当a=5，b=0时，ab=0，但a+b≠0.新知探究命题的一般形式：如果p，那么q（若p,则q ），
其中p是题设，q是结论.“若p,则q ”中的条件和结论互换，便得到“若q，则p”.我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个是原命题，另一个叫原命题的逆命题.逆命题新知探究写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.（1）如果a=b，则a2=b2；
（2）等角的余角相等；
（3）同位角相等，两直线平行.（1）如果a2=b2 ，则 a=b，假命题；（2）如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等，
真命题；（3）两直线平行，同位角相等，真命题.问题：原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？解：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.新知探究例4 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.
(1)若ac2＞bc2，则a＞b；
(2)若ab=0，则a=0.解 ： (1)逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2.
假命题，如c=0，ac2=bc2 ；
(2)逆命题：若a=0，则ab=0.真命题.课堂小结命题命题的概念：对某一事件作出正确或者不正确判定的语句（或式子）叫做命题.命题的结构：由题设和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式.命题的分类：真命题和假命题.逆命题：原命题为“如果p,那么q”,逆命题则为“如果q,那么p”.１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
⑴对顶角相等；
⑵画一个角等于已知角；
⑶两直线平行，同位角相等；
⑷a、b两条直线平行吗？
⑸温柔的李明明；
⑹玫瑰花是动物；
⑺若a2＝4，求a的值；
⑻若a2＝ b2，则a＝b.不是是不是不是是不是是是(9)“八荣八耻”是我们做人的基本准则是课堂小测2.写出下列命题的逆命题，并判断命题的真假
（1）如果a=b,那么|a|=|b|．( )
如果|a|=|b|，那么a=b．( )
（2）等角的补角相等．( )
如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．( )
（3）内错角相等，两直线平行．( )
两直线平行，内错角相等．( )√√√√√×课堂小测3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那
么……”的形式：（1）在同一个三角形中，等角对等边；（2）对顶角相等.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.课堂小测课件19张PPT。第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明八年级数学沪科版·上册13.2.2证明新课引入观察与思考图中的四边形是正方形吗？新知探究
考考你的眼力 线段a与线段b哪个
比较长？ 谁与线段d在
一条直线上？新知探究
ab检验你的结论a=b新知探究
平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线! 你觉得观察得到的结论正确吗？ 古希腊数学家欧几里得对数学知识作了系统的总结，把人们公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.我们把少数真命题作为基本事实. 例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.基本事实与定理新知探究
新知探究 人们可以用定义和基本事实作为推理的依据，去判断其他命题的真假.基本事实
同位角相等，
两直线平行.内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.我们把经过证明为真的命题叫作定理.新知探究证实其他命
题的正确性 推 理推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理基本事实或公理一些条件+定理证明的一般过程：总结归纳新知探究费 马 对于所有自然数n， 的值都是质数.欧 拉举出反例是检验错误数学结论的有效方法.大数学家也有失误新知探究 这个故事告诉我们：
1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度. 2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确. 3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.新知探究做一做：下列命题中，哪些正确，哪些错误？（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数;（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.错误错误错误正确你能说说你是怎么判断的吗？证明与推理新知探究 要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.新知探究典例精析证明：内错角相等，两直线平行.例1 如图，直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2，
求证：a∥b.证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.符号“∵”读作“因为”，符号“∴”读作“所以”.新知探究证明： ∵ OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC，
∴∠1= ∠AOB，∠2= ∠BOC.
又∵∠AOB、∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC=180°,
∴∠1+∠2= (∠AOB+∠BOC)=90°,
∴OE⊥OF.例2 如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB， OF平分∠BOC.求证：OE⊥OF.AOCEBF12课堂小结证明定理：经过证明的真命题称为定理.证明：除了公理外,其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.1.下列结论中你能肯定的是（ ）
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人B课堂小测2.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10,得到a=b
B.观察得到了三角形有三个角
C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线A课堂小测3.如图，直线AB与直线CD相交于点O，
∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC =∠BOD.证明：∴ ∠AOB与∠COD都是平角( ),已知平角的定义∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°,补角的定义 ∴ ∠AOC =∠BOD ( ).同角的补角相等∵直线AB与直线CD相交于点O ( ),∠BOD＋∠AOD＝180°,( )课堂小测4.如图，∠1=∠B，求证：∠2=∠C.ABCDE12证明：∵∠1=∠B（ ）, ∴AE∥BC（ ）,∴∠2=∠C（ ）.已知同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等课堂小测课件35张PPT。第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明八年级数学沪科版·上册13.2.3三角形内角和定理新课引入我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.新知探究
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？新知探究
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.你能用数学的方法说明这个结论吗？还有其他的拼接方法吗？活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.三角形的内角和的证明新知探究
三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.ED新知探究
新知探究EDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同学们还有其他的方法吗？新知探究思考：多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.新知探究在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结 为了证明三角形三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线新知探究 问题：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？三角形内角和定理的推论1、2直角三角形的两锐角互余.三角形内角和推论1：新知探究直角三角形的两个锐角互余． 应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．总结归纳新知探究方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.例1（1）如图?，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A
与∠D有什么关系？图?新知探究解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.（2）如图?，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与
∠C有什么关系？请说明理由.图?与图?有哪些共同点与不同点？新知探究例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？解：∠CAE= ∠DBE.理由如下：
在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED，∴ ∠CAE= ∠DBE.新知探究
解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴∠ABE+∠A=90°，
∠ABE+∠DFB=90°.
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°，
∴∠A+∠BFC=180°.【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？新知探究思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本
图形吗？基本图形∠A=∠C∠A=∠D总结归纳新知探究问题2：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.三角形内角和推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.新知探究ABC应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形. 总结归纳新知探究典例精析例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.即△ADE是直角三角形.新知探究例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，求证：△ABD是直角三角形.解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.新知探究问题3 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？新知探究D证明：过C作CE平行于AB，ABC∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.验证结论新知探究如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.??图?图?解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.拓展探究新知探究推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.∠B+∠C=∠CAD∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C归纳总结三角形内角和定理的推论新知探究练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：∠1=40 °, ∠2=140 °∠1=18 °, ∠2=130 °新知探究例5 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．E新知探究解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.新知探究【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度数.思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.新知探究解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.E ))12)3)4你发现了什么结论？新知探究E )1解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.)2F 课堂小结三角形内角和定理的证明及推论三角形内角和定理的证明推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
一个锐角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70° B2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ ）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C D课堂小测3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F
等于 （ ）FABECDA.26°
B.63°
C.37°
D.60°A课堂小测4.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.90°5.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，
若∠BOD=38°，则∠A=________.52°第1题图第2题图6.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.直角三角形课堂小测12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+ ∠E,同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180o,∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180o.7.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.课堂小测
