1.1.2集合的关系与运算（教师版）

集合的关系与运算


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掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。
了解空集的含义与性质。
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。


一、子集：
一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合包含于集合，或集合包含集合。
记作: ， 读作：包含于或包含。
特别提醒：1、“是的子集”的含义是：集合的任何一个元素都是集合的元素，即由，能推出。如：；。2、当“不是的子集”时，我们记作：“”，读作：“不包含于，（或不包含）”。如：。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合，它的任何一个元素都属于集合本身，记作。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合，有。5、在子集的定义中，不能理解为子集是集合中部分元素组成的集合。因为若，则中不含有任何元素；若=，则中含有中的所有元素，但此时都说集合是集合的子集。
二、集合相等：
一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合等于集合，记作=。
特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证，只需证与都成立即可。
三、真子集：
对于两个集合与，如果，并且，我们就说集合是集合的真子集，
记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A

特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合，，，如果，，那么。3、两个集合、之间的关系：
四、并集：
1、并集的概念：
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，叫做与的并集。
记作：AB，读作：并。
符号语言表达式为： 。
韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）
如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。
特别提醒：（1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相排斥的。“”这一条件包含下列三种情况：；；。（2）对于，不能认为是由的所有元素和的所有元素组成的集合，因为与可能有公共元素，所以上述看法，从集合元素的互异性看是错误的。
2、并集的性质：
（1）； （2）； （3）； （4）。

3、讨论两集合在各种关系下的并集情况：

（1）若，则，如图①；
（2）若，则，如图②； ① ② ③
（3）若，则（），如图③；
（4）若与相交，则图④中的阴影部分；
（5）若与相离，则图⑤中的阴影部分。
④ ⑤
五、交集：
1、交集的概念：
一般地，由所有属于且属于的元素所组成的集合,叫做与的交集。
记作：；读作：交。
符号语言表达式为：
韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：
如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．
特别提醒：对于，是指中的任一元素都是与的公共元素，同时这些公共元素都属于。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合与集合没有公共元素时，不能说与没有交集，而是。
2、交集的运算性质：
（1）；（2）；（3）；（4）。







3、讨论两集合在各种关系下的交集情况：

（1）若，则，如图①；
（2）若，则，如图②； ① ② ③
（3）若，则（），如图③；
（4）若与相交，则图④中的阴影部分；
（5）若与相离，则，如图⑤。
④ ⑤
六：全集与补集：
1、全集的概念：
如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示。
2、补集的概念：
一般地，设是一个集合，是的一个子集（即），由中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）。
记作：?UA；读作：在中的补集；
符号语言表达式为：?UA ；
韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：

类型一 子集、真子集的概念
例1：已知集合M满足{1,2}?M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.
解析：由条件知，集合M中一定有元素1,2，可能含有3,4,5中的部分数．故满足条件的集合M可以是：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}
答案：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}
练习1：写出满足{3,4}P?{0,1,2,3,4}的所有集合P.
答案：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
练习2： 以下表示正确的是(　　)
A．?＝0　　　　　　 B．?＝{0}
C．?∈{0} D．??{0}
答案：D
类型二 集合相等关系的应用
例2：已知集合{x2，x＋y,0}＝{x，，1}，求x2 015＋y2 015的值为________．
解析：由题意知，0∈{x，，1}，
又∵x≠0，∴y＝0.
∴集合{x2，x＋y,0}＝{x2，x,0}．
又1∈{x2，x,0}，且x≠1，∴x2＝1，∴x＝－1.
故x2 015＋y2 015＝(－1)2 015＋02 015＝－1.
答案：-1
练习1：已知集合A＝{2，a，b}，集合B＝{2a,2，b2}，若A＝B，求a、b的值．
答案：或.
练习2：将下列两集合相等的组的序号填在横线上 。
；


答案：①③
类型三 由集合关系求参数取值范围
例3：已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解析：(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1.
解得m≥2，这时B?A．
(2)当B≠?时，由B?A得，
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
答案：m≥－1.
练习1：若{x|2x－a＝0}{x|－1答案：{a|－2练习2： 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B?A，求实数a的取值范围．
答案：a≤－1或a＝1.
类型四 交集的概念
例4：设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝(　　)
A．{－2}　　　　　　 B．{2} C．{－2,2} D．?
解析：∵A＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．
答案：A
练习1： 若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝(　　)
A．{1,4} B．{－1，－4} C．{0} D．?
答案：D
练习2： 若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝(　　)
A．{0，－1} B．{0}　 C．{1} 　 D．{－1,1}
答案： C
类型五 并集的概念
例5：集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0　　　 B．1　　　C．2　　　 D．4
解析： ∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴①或②，
由①得a＝4，②无解．综上，得a＝4.
答案：D
练习1： 若集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{1,2,4}，则A∪B＝(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2} D．{0}
答案：A
练习2： 已知集合M＝{－1,1,2}，N＝{1,4}，则M∪N＝(　　)
A．{1}　　 B．{1,4} C．{－1,1,2,4} D．?
答案： C
类型六 补集的运算
例6：设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，则a的值为__________．
解析：因为?UA＝{5}，且A∪?UA＝{2，|2a－1|,5}＝U＝{2,3，a2＋2a－3}，
∴，
解①得a＝2或a＝－4；解②得a＝2或a＝－1.
所以a的值为2.
答案： 2
练习1： 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,6}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(?UB)等于(　　)
A．{2,4,6} B．{1,3,5} C．{2,4,5} D．{2,5}
答案：A
练习2： 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则 ?UA＝(　　)
A．{1,3,5,6}　 B．{2,3,7} C．{2,4,7} D．{2,5,7}
答案： C
类型七 应用Venn图进行集合间的交、并、补运算
例7：全集U＝{不大于15的正奇数}，M∩N＝{5,15}，?U(M∪N)＝{3,13}，(?UM)∩N＝{9,11}，求M.
解析：

答案： {1,5，7，15}
练习1：已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩(?IM)＝?，则M∪N＝(　　)
A．M　　　 B．N　　C．I　　　 D．?
答案：A
练习2： 已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝
________.
答案： {1,2,3}



1. 下列集合中，只有一个子集的集合是(　　)
A．{x|x＋3＝3}　　　 B．{(x，y)|y2＝－x2，x、y∈R}
C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0}
答案：D
2. 已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A?B，则a＝(　　)
A．1 B．0
C．－2 D．－3
答案： C
3. 已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0}　　　　　　　　 B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
答案：C
4. 满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是(　　)
A．4　　　 B．3　　　
C．2　　　 D．1
答案：C
5． 如果U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,5}，那么(?UM)∩N＝(　　)
A．? B．{1,3}
C．{1} D．{5}
答案：D

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基础巩固
1.集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是(　　)
A．16　　　 B．8　　　
C．7　　　 D．4
答案：C
2. 满足{a，b}?A{a，b，c，d}的集合A有________个(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
3. 已知P＝{x|－1A．{x|－2C．{x|1答案：D
4. 设全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x≤3} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|－1≤x≤2}
答案：B
5. 设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(?UB)＝(　　)
A．{1,2,5,6} B．{1}
C．{2} D．{1,2,3,4}
答案：B
6. 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1A．(－3,0) B．(－3，－1)
C．(－3，－1] D．(－3,3)
答案：C
能力提升
7. 若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B?A，则实数x的值是________．
答案：0或±
8. 已知集合M含有三个元素1,2，x2，则x的值为______________．
答案：x≠±1，且x≠±
9. 已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)若x∈N，求集合A的子集的个数．
答案：（1）m<－2或0≤m≤. （2）27＝128.
10. 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤6}，求(?UA)∩(?UB)．
答案：{x|x<－2或x>6}．




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