第一章 统计案例
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和内角度数和
D．人的年龄和身高
解析：函数关系就是一种变量之间的确定性的关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高．
答案：D
2．设一个线性回归方程为＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时( )
A.平均增加1.5个单位
B.平均增加2个单位
C.平均减少1.5个单位
D.平均减少2个单位
解析：由线性回归方程＝2－1.5x中x的系数为－1.5，知C项正确．
答案：C
3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
建立的回归模型拟合效果最好的同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：相关指数R2越大，表示回归模型的效果越好．
答案：A
4．已知x与y之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
m
3
5.5
7
已求得y关于x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，则m的值为( )
A．1 B．0.85
C．0.7 D．0.5
解析：因为＝＝，
＝＝.
所以这组数据的样本中心点是.
因为y关于x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，
所以＝2.1×＋0.85，解得m＝0.5.
答案：D
5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
解析：先求，再利用回归直线方程预测．
由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案：B
二、填空题
6．如果散点图中的所有的点都在一条斜率不为0的直线上，则残差为________，相关指数R2＝________．
解析：由题意知，yi＝i
∴相应的残差i＝yi－i＝0.
相关指数R2＝1－
答案：0 1
7．某脑科研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝－2.3，则＝________．
解析：由表格中数据得＝＝9，＝＝4，故样本中心点的坐标为(9，4)，
因为线性回归方程为＝x－2.3，
所以4＝×9－2.3，解得＝0.7.
答案：0.7
8．已知方程＝0.85x－85.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归直线方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160，53)的残差是________．
解析：将x＝160代入＝0.85x－85.71，
得＝0.85×160－85.71＝50.29
所以残差＝y－＝53－50.29＝3.29.
答案：3.29
8．已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归直线方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160，53)的残差是________．
解析：将x＝160代入＝0.85x－82.71，
得＝0.85×160－82.71＝53.29，
所以残差＝y－＝53－53.29＝－0.29.
答案：－0.29
三、解答题
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：
单位x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销售y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又＝－20，
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20(x－8.25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
10．某企业每天由空气污染造成的经济损失y(单位：元)与空气污染指数(API)x的数据统计如下：
空气污染指数(API)x
150
200
250
300
经济损失y
200
350
550
800
(1)求出y与x的线性回归方程＝x＋；
(2)若该地区某天的空气污染指数为800，预测该企业当天由空气污染造成的经济损失；
(3)若相关指数R2＝0.958 7，请说明其含义．
解：(1)＝(150＋200＋250＋300)＝225，
＝(200＋350＋550＋800)＝475.
所以＝＝4，＝－＝475－4×225＝－425，
所以＝4x－425.
(2)当x＝800时，＝4×800－425＝2 775.
即当空气污染指数为800时，预测该企业当天造成的经济损失是2 775元．
(3)R2＝0.9587，说明该企业每天空气污染造成经济损失的95.87%是由空气污染指数API引起的，所以回归模型的拟合效果较好．
B级 能力提升
1．如图所示的是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )
解析：残差图中，只有A，B是水平带状区域分布，且B中残差点散点分布集中在更狭窄的范围内，所以B项中回归模型的拟合效果最好．
答案：B
2．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：
温度x
0
10
20
50
70
溶解度y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此得到回归直线的斜率是________．
解析：＝×(0＋10＋20＋50＋70)＝30，＝×(66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0)＝93.6，则公式=,可得≈陇望蜀0.880 9.
3.如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．
解析：由图可知：去掉D(3，10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．
答案：D(3，10)
4．已知某商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
(1)画出y关于x的散点图；
(2)求出回归直线方程；
(3)计算R2的值，并说明回归模型拟合程度的好坏．
解：(1)散点图如图所示：
(2)因为＝18，＝7.4，＝1 660，＝327，xiyi＝620，
所以R2＝1－≈0.994，
故回归模型的拟合效果较好．
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