第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知 =, =, =4,….若 =6(a,b∈R),则( )
A.a=5,b=24 B.a=6,b=24
C.a=6,b=35 D.a=5,b=35
解析:观察式子的特点可知,分式的分子a与根号外的数相同,而分母b则为a的平方减1.
答案:C
2.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:
按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴的根数为( )
A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2
解析:从①②③可以看出,从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根,故火柴棒数成等差数列,第一个图中火柴棒为8根,故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n+2.故选C.
答案:C
3.设n是自然数,则(n2-1)[1-(-1)n]的值( )
A.一定是零 B.不一定是偶数
C.一定是偶数 D.是整数但不一定是偶数
解析:当n为偶数时,(n2-1)[1-(-1)n]=0为偶数;当n为奇数时(n=2k+1,k∈N),(n2-1)[1-(-1)n]=(4k2+4k)·2=k(k+1)为偶数.所以(n2-1)[1-(-1)n]的值一定为偶数.
答案:C
4.在平面直角坐标系内,方程+=1表示在x轴,y轴上的截距分别为a和b的直线,拓展到空间,在x轴,y轴,z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为( )
A.++=1 B.++=1
C.++=1 D.ax+by+cz=1
解析:从方程+=1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是++=1.
答案:A
5.在数学解题中,常会碰到形如“”的结构,这时可类比正切的和角公式.如:设a,b是非等实数,且满足=tan ,则等于( )
A.4 B. C.2 D.
解析:将已知式变形,则有===tan =tan ,类比正切的和角公式,即tan(α+β)=,可知只有当=tan =时,上式成立.
答案:D
二、填空题
6.设f(x)= .利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为________.
解析:因为6-(-5)=11,所以f(-5),f(-4),…,f(5),f(6),共有12项,课本中推导等差数列前n项和的公式的方法是倒序相加法,即
因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1,
令Sn=a1+a2+…+an,则Sn=an+an-1+…+a1,
所以2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an),
所以Sn=.
同理,因为f(x)+f(1-x)=+=
+==.
令Tn=f(-5)+f(-4)+…+f(5)+f(6),
则Tn=f(6)+f(5)+…+f(-4)+f(-5),
所以2Tn=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+…+[f(6)+f(-5)]=12×=6.
所以Tn=3.
答案:3
7.通过圆与球的类比,由“半径为R的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为
_____________________________________________________.
解析:“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”,可得结论.
答案:半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大,最大值为R3.
8.(2015·陕西卷)观察分析下表中的数据:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式是______________.
解析:三棱锥:F=5,V=6,E=9,得F+V-E=2;
五棱锥:F=6,V=6,E=10,得;F+V-E=2;
立方体:F=6,V=8,E=12,得F+V-E=2.
所以归纳猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式F+V-E=2.
答案:F+V-E=2
三、解答题
9.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:
(1)三角形两边之和大于第三边;
(2)三角形的面积S=×底×高;
(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.
…
请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论.
解:由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为:
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.
(2)四面体的体积V=×底面积×高.
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
10.已知数列,,,…,(n∈N*)的前n项和为Sn.
(1)求出S1,S2,S3,S4;
(2)猜想该数列的前n项和Sn并证明.
解:(1)S1=,S2=,S3=,S4=.
(2)猜想Sn=(n∈N*).证明如下:
因为=,
所以Sn==(n∈N*).
B级 能力提升
1.图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形,则第n个图包含的单位正方形的个数是( )
图① 图② 图③ 图④
A.n2-2n+1 B.2n2-2n+1
C.2n2+2 D.2n2-n+1
解析:观察题中给出的四个图形,图①共有12个正方形,图②共有12+22个正方形;图③共有22+32个正方形;图④共有32+42个正方形;则第n个图中共有(n-1)2+n2,即2n2-2n+1个正方形.
答案:B
2.若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则数列{bn}:bn=(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质,相应地:若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且cn>0,则数列{dn}:dn=________(n∈N*)也是等比数列.
解析:在运用类比推理解决问题时,首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,找出等差数列与等比数列在运算上的相似性:等差←→等比,求和←→求积,除法←→开方,故猜想dn=,故填 .
答案:
3.在长方形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,cos2α+cos2β=1,则在立体几何中,给出类比猜想.
解:在长方形ABCD中,cos2α+cos2β=+===1.
于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ,
则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
证明如下:
cos2α+cos2β+cos2γ=++===1.
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