第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知 ＝， ＝， ＝4，….若 ＝6(a，b∈R)，则( )
A．a＝5，b＝24 B．a＝6，b＝24
C．a＝6，b＝35 D．a＝5，b＝35
解析：观察式子的特点可知，分式的分子a与根号外的数相同，而分母b则为a的平方减1.
答案：C
2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2
解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.故选C.
答案：C
3．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值( )
A．一定是零 B．不一定是偶数
C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数
解析：当n为偶数时，(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，(n2－1)[1－(－1)n]＝(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．
答案：C
4．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析：从方程＋＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是＋＋＝1.
答案：A
5．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非等实数，且满足＝tan ，则等于( )
A．4 B. C．2 D.
解析：将已知式变形，则有＝＝＝tan ＝tan ，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝，可知只有当＝tan ＝时，上式成立．
答案：D
二、填空题
6．设f(x)＝ .利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
解析：因为6－(－5)＝11，所以f(－5)，f(－4)，…，f(5)，f(6)，共有12项，课本中推导等差数列前n项和的公式的方法是倒序相加法，即
因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1，
令Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn＝an＋an－1＋…＋a1，
所以2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，
所以Sn＝.
同理，因为f(x)＋f(1－x)＝＋＝
＋＝＝.
令Tn＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)，
则Tn＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5)，
所以2Tn＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]＝12×＝6.
所以Tn＝3.
答案：3
7．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为
_____________________________________________________．
解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论．
答案：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为R3.
8．(2015·陕西卷)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是______________．
解析：三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2；
五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2；
立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2.
所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
三、解答题
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：
(1)三角形两边之和大于第三边；
(2)三角形的面积S＝×底×高；
(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.
…
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
(2)四面体的体积V＝×底面积×高．
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
10．已知数列，，，…，(n∈N*)的前n项和为Sn.
(1)求出S1，S2，S3，S4；
(2)猜想该数列的前n项和Sn并证明．
解：(1)S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
(2)猜想Sn＝(n∈N*)．证明如下：
因为＝，
所以Sn＝＝(n∈N*)．
B级 能力提升
1．图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是( )
图① 图② 图③ 图④
A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1
C．2n2＋2 D．2n2－n＋1
解析：观察题中给出的四个图形，图①共有12个正方形，图②共有12＋22个正方形；图③共有22＋32个正方形；图④共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．
答案：B
2．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列{bn}：bn＝(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则数列{dn}：dn＝________(n∈N*)也是等比数列．
解析：在运用类比推理解决问题时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，找出等差数列与等比数列在运算上的相似性：等差←→等比，求和←→求积，除法←→开方，故猜想dn＝，故填 .
答案：
3．在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解：在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝＋＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：
cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＋＋＝＝＝1.
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