第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
A级 基础巩固
一、选择题
1．演绎推理是由( )
A．部分到整体，个别到一般的推理
B．特殊到特殊的推理
C．一般到特殊的推理
D．一般到一般的推理
解析：由演绎推理的定义和特征可知C正确，故选C.
答案：C
2．利用演绎推理的“三段论”可得到结论：函数f(x)＝lg的图象关于坐标原点对称．那么这个“三段论”的小前提是( )
A．f(x)是增函数 B．f(x)是减函数
C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数
解析：利用演绎推理的“三段论”可得到结论：函数f(x)＝lg 的图象关于坐标原点对称．大前提：奇函数的图象关于坐标原点对称．小前提：函数f(x)＝lg 是奇函数．结论：函数f(x)＝lg 的图象关于坐标原点对称．故这个“三段论”的小前提是函数f(x)＝lg 是奇函数．
答案：C
3．下列推理是演绎推理的是( )
A．已知a1＝1，an＋1＝，因为a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，故有an＝(n∈N*)
B．科学家利用鱼类的沉浮原理制造潜水艇
C．妲己惑纣王，商灭；西施迷吴王，吴灭；杨贵妃迷唐玄宗，致安史之乱，故曰：“红颜祸水也．”
D．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”
解析：A，C中的推理均是从特殊到一般的推理，是归纳推理，属于合情推理；B中，科学家利用鱼类的沉浮原理制造潜水艇，是由特殊到特殊的推理，是类比推理，属于合情推理；D为“三段论”形式，是从一般到特殊的推理，是一个复合“三段论”，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用多次“三段论”，属于演绎推理．
答案：D
4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
解析：选项A中的推理是演绎推理，选项B中的推理是类比推理，选项C、D中的推理是归纳推理．
答案：A
5．大前提：余弦函数是偶函数；小前提：f(x)＝cos(x2＋1)是余弦函数；结论：f(x)＝cos(x2＋1)是偶函数．以上推理( )
A．结论不正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：大前提：余弦函数是偶函数，正确；小前提：f(x)＝cos(x2＋1)是余弦函数，因为该函数是复合函数，故错误；结论：f(x)＝cos(x2＋1)是偶函数，是正确的．
答案：C
二、填空题
6．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的“三段论”，则大前提是________________________．
解析：根据已知的推理，可知32＋42＝52，满足直角三角形的三条边的性质，故大前提是一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
7．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，即a≥0；小前提是有意义；结论是_______．
解析：要使函数有意义，则log2 x－2≥0，解得x≥4，所以函数y＝的定义域是[4，＋∞)．
答案：函数y＝的定义域是[4，＋∞)
8．关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－1＜x＜0，或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．
解析：易知f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确；当x＞0时，f(x)＝lg ＝lg ；因为在g(x)＝lg在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而f(x)有最小值lg 2，所以③正确；④也正确；⑤不正确．
答案：①③④
三、解答题
9．设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．
证明：因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac＞0，那么方程有两相异实根．(大前提)
一元二次方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3＞0，(小前提)
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两相异实根．(结论)
10.如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心．求证：MN∥平面ACD(写出每一个三段论的大前提、小前提、结论)．
证明：如图，连接BM，BN，并延长分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.
因为三角形的重心是中线的交点，(大前提)
M，N分别是△ABD和△BCD的重心，(小前提)
所以P，Q分别是AD，DC的中点．(结论)
因为三角形的重心将中线长分成1∶2的两部分，(大前提)
M，N分别是△ABD和△BCD的重心，BP，BQ分别是△ABD和△BCD的中线，(小前提)
所以＝2＝.(结论)
平行线分线段成比例定理的逆定理，(大前提)
＝2＝，(小前提)
所以MN∥PQ.(结论)
直线与平面平行的判定定理，(大前提)
MN?平面ACD，PQ?平面ACD，(小前提)
所以MN∥平面ACD.(结论)
B级 能力提升
1．有一个“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
解析：可导函数在某点处的导数为0，不一定能得到函数的极值点，因此大前提错误．
答案：A
2．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________．
解析：利用三段论．
因为f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，(大前提)
令b＝1，则＝f(1)＝2，(小前提)
所以＝＝…＝＝2.(结论)
所以原式＝＝2 020.
答案：2 020
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．
(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)解：由(1)可知an－n＝4n－1，所以an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*，
Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．
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