第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．已知A，B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由正弦定理＝，又A，B为三角形的内角，
所以sin A>0，sin B>0，所以sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
答案：C
2．设0A．a B．b
C．c D．不能确定
解析：因为b－c＝(1＋x)－＝＝－<0，
所以bx＝a，所以a答案：C
3．在△ABC中，已知sin Acos A＝sin Bcos B，则该三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：由sin Acos A＝sin Bcos B得sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.所以该三角形是等腰或直角三角形．
答案：D
4．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和?如下：
⊕
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
b
c
c
b
c
b
d
d
b
b
d
?
a
b
c
a
a
a
a
b
a
b
c
c
a
c
c
d
a
d
a
那么，d?(a⊕c)等于( )
A．a B．b C．c D．d
解析：由⊕运算可知，a⊕c＝c，
所以d?(a⊕c)＝d?c.
由?运算可知，d?c＝a.故选A.
答案：A
5．设a>0，b>0且ab－(a＋b)≥1，则( )
A．a＋b≥2(＋1) B．a＋b≤＋1
C．a＋b≤(＋1)2 D．a＋b>2(＋1)
解析：由条件知a＋b≤ab－1≤－1，
令a＋b＝t，则t>0，且t≤－1，
解得t≥2＋2.
答案：A
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．
答案：综合法
7．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：
要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________________，即证____________，由于____________显然成立，因此原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
8．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：根据条件可知，欲求＋＋的最小值．
只需求(a＋b＋c)的最小值，
因为(a＋b＋c)＝
3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．
答案：9
三、解答题
9．(1)用综合法证明：若a>0，b>0，求证：(a＋b)·≥4；
(2)用分析法证明：已知a>0，求证： －≥a＋－2.
证明：(1)因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，
＋≥2，
所以(a＋b)≥2·2＝4.
当且仅当a＝b，＝时，等号成立，所以(a＋b)(＋)≥4.
(2)要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋.
因为a>0，只需证≥，
即a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋4，
只需证2≥，
只需证4≥2，
即a2＋≥2，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
10.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过点A作SB的垂线，垂足为E，过点E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，故只需证SC⊥平面AEF，
只需证AE⊥SC，而AE⊥SB，
故只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC，而AB⊥BC，
故只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA.
由SA⊥平面ABC可知，SA⊥BC，即上式成立，
所以AF⊥SC成立．
B级 能力提升
1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由零点存在性定理知，选项A正确．
答案：A
2．分析法又称执果索因法，在证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”中，索的因应是___________________________．
解析：由题意知<a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.
答案：(a－c)(a－b)>0
3．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，即c2＋a2＝ac＋b2，
所以原式得证．
课件31张PPT。第二章 推理与证明
